Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $961\text{m}^{2}$, người ta muốn mở

Câu hỏi số 789934:

Vận dụng

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $961\text{m}^{2}$, người ta muốn mở rộng 4 phần đất sao choo tạo thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng với tâm hình chữ nhật. Tính diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất được mở rộng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789934

Phương pháp giải

Gọi $x(m),y(m)(x,y > 0)$ lần lượt là 2 kích thước mảnh vườn hình chữ nhật; $\text{R}\left( \text{m} \right)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của mảnh vườn.

Ta có: $\text{xy} = 961\text{m}^{2}$ và $R^{2} = \dfrac{x^{2} + y^{2}}{4}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, tìm giá trị nhỏ nhất của R, từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của 4 phần đất được mở rộng.

Giải chi tiết

Gọi $x(m),y(m)(x,y > 0)$ lần lượt là 2 kích thước mảnh vườn hình chữ nhật; $\text{R}\left( \text{m} \right)$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của mảnh vườn.

Theo đề bài ta có: $\text{xy} = 961\text{m}^{2}$.

Lại có: $R^{2} = OB^{2} = \dfrac{x^{2} + y^{2}}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $x^{2} + y^{2} \geq 2\text{xy}$

Suy ra $R^{2} \geq \dfrac{xy}{2} = 450$

Dấu “=” xảy ra khi $x = y$

Diện tích 4 phần đất mở rộng là:

$S = \pi R^{2} - xy = \pi \cdot \dfrac{x^{2} + y^{2}}{4} - xy \geq 450\pi - 900$.

Vậy diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất được mở rộng là $450\pi - 900$ khi $x = y = 30\left( \text{m} \right)$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link