Cho đường tròn $\left( \text{O} \right)$ và một điển A cố định nằm ngoài đường tròn. Từ A ta

Câu hỏi số 789933:

Vận dụng

Cho đường tròn $\left( \text{O} \right)$ và một điển A cố định nằm ngoài đường tròn. Từ A ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC. Lấy điểm E bất kì thuộc cung nhỏ BC, đường thẳng AE cắt đường tròn $\left( \text{O} \right)$ tại điểm thứ 2 là F. Gọi I là trung điểm của dây $EF$.
a) Chứng minh 5 điểm $\text{A},\text{B},\text{I},\text{O},\text{C}$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng CI với đường tròn.

Chứng minh $\widehat{AOC} = \widehat{BKC}$. Từ đó chứng minh $\text{BK}//\text{EF}$.

c) Xác định vị trí điểm E trên cung nhỏ BC để diện tích tam giác AKF lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789933

Phương pháp giải

a) Các tam giác OAC, OAB, OEF, OAI vuông nên $\text{A},\text{B},\text{I},\text{O},\text{C}$ cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

b) Chứng minh được $\widehat{AOC} = \widehat{BKC} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOC}$ mà $\widehat{AOC} = \widehat{AIC}$ suy ra $\widehat{AOC} = \widehat{BKC}$. Từ đó chứng minh $\text{BK}//\text{EF}$.

c) Kẻ FH vuông góc với AB (H thuộc AB). Vì $\text{KB}//\text{EF}$ nên $S_{AKF} = S_{ABF} = \dfrac{1}{2}FH.AB$.

Vì AB cố định nên diện tích tam giác ABF lớn nhất khi BF lớn nhất.

Giải chi tiết

a) Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( \text{O} \right)$ nên $OB\bot AB$ tại B và $OC\bot AC$ tại C . Do đó tam giác OAB vuông tại B và tam giác OAC vuông tại C.

Gọi D là trung điểm của OA , khi đó $OD = DA = \dfrac{OA}{2}$

Vì tam giác OAB vuông tại B có BD là đường trung tuyến nên $BD = OD = DA(1)$

Vì tam giác OAC vuông tại C có CD là đường trung tuyến nên $CD = OD = DA$ (2)

Xét tam giác OEF có $\text{OE} = \text{OF}$ nên tam giác OEF cân tại O.

Lại có OI là đường trung tuyến do đó OI đồng thời là đường cao hay $OI\bot EF$ tại I.

Do đó tam giác AOI vuông tại I.

Vì tam giác OAI vuông tại I có ID là đường trung tuyến nên $ID = OD = DA$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $BD = OD = DA = DI = DC$.

Do đó điểm D cách đều 5 điểm $\text{A},\text{B},\text{I},\text{O},\text{C}$. Hay 5 điểm $\text{A},\text{B},\text{I},\text{O},\text{C}$ cùng thuộc một đường tròn tâm D đường kính OA.

b) Vì AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác của $\widehat{BOC}$

hay $\widehat{AOC} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOC}$ (4)

Ta có $\widehat{BOC} = \text{sd}\widehat{BC}$ ($\widehat{BOC}$ là góc ở tâm chắn cung BC); $\widehat{BKC} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\widehat{BC}$ (góc nội tiếp chắn cung BC)

Do đó $\widehat{BKC} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOC}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\widehat{AOC} = \widehat{BKC}$

Xét đường tròn tâm D đường kính OA ta có $\widehat{AOC} = \widehat{AIC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Mà $\widehat{AOC} = \widehat{BKC}$ nên $\widehat{AIC} = \widehat{BKC}$. Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên $\text{BK}//\text{EF}$.

c) Vì $\text{KB}//\text{EF}$ nên diện tích tam giác AKF cũng chính là diện tích ABF .

Kẻ FH vuông góc với AB (H thuộc AB). Khi đó diện tích tam giác ABF là:

$S_{ABF} = \dfrac{1}{2}FH.AB$.

Vì AB cố định nên diện tích tam giác ABF lớn nhất khi BF lớn nhất.

Vì tam giác BFH vuông tại H nên $FH \leq BF$.

Mà BF là một dây cung của đường tròn $\left( \text{O} \right)$, do đó BF lớn nhất khi BF là đường kính. Khi đó E là giao điểm thứ hai của FA và đường tròn $\left( \text{O} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link