Trong chuyến tham quan tại Đà Lạt, tại một nông trại trồng dâu gồm các

Câu hỏi số 790144:

Vận dụng

Trong chuyến tham quan tại Đà Lạt, tại một nông trại trồng dâu gồm các giống dâu tây Nhật Bản, dâu tây Mỹ đá, dâu tây New Zealand chiếm sản lượng theo tỷ lệ $15\rm{\%},30\rm{\%},55\rm{\%}$. Người ta chọn ngẫu nhiên một loại dâu đưa cho 13 học sinh ăn thử để xác định xem đây là giống dâu tây nào. Mỗi bạn đã được thử qua 1 lượt ba giống dâu trên để ghi nhớ đặc điểm từng loại. Giả sử mỗi bạn có xác suất đoán đúng bằng nhau là $60\rm{\%}$. Có 7 bạn kết luận giống dâu tây Mỹ đá, 4 bạn kết luận giống dâu tây Nhật Bản và 2 bạn kết luận giống dâu tây New Zealand. Xác suất để giống dâu tây được chọn thuộc giống dâu tây New Zealand là $\dfrac{a}{b}$ (phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản, $a,b \in {\mathbb{N}}$ ). Giá trị $a^2-b$ bằng?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790144

Phương pháp giải

Sử dụng công thức xác suất đầy đủ và định lý Bayes để tính xác suất hậu nghiệm. Kết hợp với phân phối đa thức để tính xác suất của một tổ hợp kết quả dự đoán.

Giải chi tiết

Gọi $A_1$, $A_2$, $A_3$ lần lượt là biến cố giống dâu được chọn là dâu Nhật Bản, dâu Mỹ đá và dâu New Zealand.

Gọi $B$ là biến cố: "Kết quả quan sát được từ 13 bạn học sinh là có 7 bạn kết luận dâu Mỹ đá, 4 bạn kết luận dâu Nhật Bản và 2 bạn kết luận dâu New Zealand".

Vì xác suất một học sinh đoán đúng loại dâu là $60\%$ (tức là 0,6), nên xác suất học sinh đó đoán sai là $100\% - 60\% = 40\%=0,4$

Do có tất cả 3 loại dâu, nếu đoán sai thì học sinh đó sẽ chọn nhầm sang 1 trong 2 loại dâu còn lại. Giả sử xác suất chọn nhầm giữa các loại dâu là như nhau, suy ra xác suất để một học sinh chọn nhầm vào một loại dâu cụ thể (khi đang ăn loại khác) là: $0,4 : 2 = 0,2$.

TH1: Giống dâu được chọn là dâu Nhật Bản

$P(A_1) = 15\%$

Xác suất để có 4 bạn đoán đúng là dâu Nhật Bản, 7 bạn đoán dâu Mỹ đá và 2 bạn đoán dâu New Zealand:

$P(B|A_1) = C_{13}^4 \cdot C_9^7 \cdot C_2^2 \cdot 0.6^4 \cdot 0.2^7 \cdot 0.2^2$

TH2: Giống dâu được chọn là dâu Mỹ đá

$P(A_2) = 30\%$

Xác suất để có 7 bạn đoán đúng là dâu Mỹ đá, 4 bạn đoán dâu Nhật Bản và 2 bạn đoán dâu New Zealand:

$P(B|A_2) = C_{13}^7 \cdot C_6^4 \cdot C_2^2 \cdot 0.6^7 \cdot 0.2^4 \cdot 0.2^2$

TH3: Giống dâu được chọn là dâu New Zealand

$P(A_3) = 55\%$

Xác suất để có 2 bạn đoán đúng là dâu New Zealand, 4 bạn đoán dâu Nhật Bản, 7 bạn đoán dâu Mỹ đá:

$P(B|A_3) = C_{13}^2 \cdot C_{11}^4 \cdot C_7^7 \cdot 0.6^2 \cdot 0.2^4 \cdot 0.2^7$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3)$

Xác suất để giống dâu được chọn là dâu New Zealand trong điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra (áp dụng công thức Bayes):

P(A_3|B) = \frac{P(A_3) \cdot P(B|A_3)}{P(B)} = \frac{1}{136}

Theo đề bài, xác suất này là phân số tối giản $\frac{a}{b}$, do đó $a = 1$, $b = 136$.

Suy ra giá trị cần tính là:

$a^2 - 1= -135$.

Đáp án cần điền là: -135

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.