Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp trong nửa đường tròn $(O)$ bán

Câu hỏi số 790555:

Vận dụng

Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp trong nửa đường tròn $(O)$ bán kính $10cm,$ biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn (như hình vẽ).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790555

Phương pháp giải

Gọi $x\left( {cm} \right)$ là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn $\left( {0 < x < 10} \right)$

Khi đó áp dụng định lí Pythagore để tính OQ theo $x$, ta tính được $MQ = 2.OQ$.

Tính diện tích hình chữ nhật MNPQ theo $x$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: $2\sqrt{ab} \leq a + b$. Dấu bằng xảy ra khi $a = b \geq 0$

Dấu “=” xảy ra khi là diện tích lớn nhất của hình chữ nhật.

Giải chi tiết

Gọi $x\left( {cm} \right)$ là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn $\left( {0 < x < 10} \right)$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác OPQ, ta có:

$OQ = \sqrt{OP^{2} - PQ^{2}} = \sqrt{10^{2} - x^{2}}$

Khi đó độ dài cạnh MQ của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn là:

$MQ = 2.OQ = 2\sqrt{10^{2} - x^{2}}\left( {cm} \right)$

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

$S = x.2\sqrt{100 - x^{2}} = 2\sqrt{x^{2}.\left( {100 - x^{2}} \right)}\left( {cm^{2}} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số, ta có:

$2\sqrt{x^{2}.\left( {100 - x^{2}} \right)} \leq x^{2} + 100 - x^{2} = 100$.

Dấu “=” xảy ra khi $x^{2} = 100 - x^{2}$

Suy ra $2x^{2} = 100$

$x^{2} = 50$

$x = 5\sqrt{2}$ (vì $x > 0$)

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là $100cm^{2}$ khi $x = 5\sqrt{2}\left( {cm} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link