Cho tam giác ABC nhọn (với AB < AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt
Cho tam giác ABC nhọn (với AB < AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC và OI vuông góc BC.
b) Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh: $AB \cdot AC = AD \cdot AM$ và ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Biết AH = R = 10cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC và EF.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
Chứng minh $\Delta BFC$ và $\Delta BEC$ nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Do đó tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh $OI\bot BC$
Chứng minh tam giác OBC cân tại O, OI là đường trung tuyến của tam giác OBC.
Do đó OI cũng là đường cao của tam giác OBC.
Suy ra $OI\bot BC$.
b) Chứng minh $AB \cdot AC = AD \cdot AM$
Chứng minh $\Delta ADB \backsim \Delta ACM$ (g.g)
suy ra $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB}{AM}$, do đó $AB \cdot AC = AD \cdot AM$
Chứng minh ba điểm H, I, M thẳng hàng
Chứng minh BH // MC, BM // CH nên tứ giác BHCM là hình bình hành
Lại có $I$ là trung điểm của BC
Nên I cũng là trung điểm của HM
Suy ra ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Tính độ dài đoạn thẳng BC
Chứng minh OI là đường trung bình của $\Delta AHM$ và tính OI theo AH.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OIC vuông tại $I$ (do $OI\bot BC$) để tính BC.
Tính độ dài đoạn thẳng EF
Tính $\angle IOC$ theo tỉ số lượng giác.
Suy ra $\angle BOC$
Tính $\angle BAC$ theo $\angle BOC$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Chứng minh $\Delta AEF \backsim \Delta ABC$ (c.g.c)
Suy ra $\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{AE}{AB} = \cos\angle BAC$
Tính EF theo BC.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
Vì BE và CF là đường cao của tam giác ABC nên $BE\bot AC$ và $CF\bot AB$, suy ra $\angle BFC = \angle BEC = 90^{{^\circ}}$.
Xét $\Delta BFC$ và $\Delta BEC$ lần lượt vuông tại F và E ($\angle BFC = \angle BEC = 90^{{^\circ}}$) nên $\Delta BFC$ và $\Delta BEC$ nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Suy ra B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Do đó tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh $OI\bot BC$
Xét tam giác OBC có OB = OC nên tam giác OBC cân tại O.
Mà I là trung điểm của BC nên OI là đường trung tuyến của tam giác OBC.
Do đó OI cũng là đường cao của tam giác OBC.
Suy ra $OI\bot BC$.
b) Chứng minh $AB \cdot AC = AD \cdot AM$
Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ACM$ có:
$\angle ADB = \angle ACM\left( {= 90^{{^\circ}}} \right)$ (AD là đường cao, $\angle ACM$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\angle ABD = \angle AMC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
nên $\Delta ADB \backsim \Delta ACM$ (g.g)
suy ra $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB}{AM}$, do đó $AB \cdot AC = AD \cdot AM$
Chứng minh ba điểm H, I, M thẳng hàng
Vì $BE\bot AC,MC\bot AC$ (BE là đường cao, $\angle ACM = 90{^\circ}$) nên BE // MC hay BH // MC.
Vì $CF\bot AB,MB\bot AB$ (CF là đường cao, $\angle ABM = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BM // CF hay BM // CH.
Xét tứ giác BHCM có:
BH // MC
BM // CH
Suy ra tứ giác BHCM là hình bình hành
Lại có $I$ là trung điểm của BC
Nên I cũng là trung điểm của HM
Suy ra ba điểm H, I, M thẳng hàng.
c) Tính độ dài đoạn thẳng BC
Xét $\Delta AHM$ có O là trung điểm của AM (AM là đường kính), I là trung điểm của HM (cmt) nên OI là đường trung bình của $\Delta AHM$. Do đó $OI = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5$ (cm)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OIC vuông tại $I$ (do $OI\bot BC$), ta có:
$OI^{2} + IC^{2} = OC^{2}$ , suy ra $IC = \sqrt{OC^{2} - OI^{2}} = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\text{~(cm)}$
suy ra $BC = 2 \cdot IC = 10\sqrt{3}\text{~(cm)}$
Tính độ dài đoạn thẳng EF
Xét tam giác vuông OIC có: $\cos\angle IOC = \dfrac{OI}{OC} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ nên $\angle IOC = 60^{{^\circ}}$
Suy ra $\angle BOC = 2 \cdot \angle IOC = 120^{{^\circ}}$ (OI là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác BOC)
Ta có: $\angle BAC = \dfrac{1}{2} \cdot \angle BOC = \dfrac{1}{2}.120^{{^\circ}} = 60^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ACF$ có:
$\angle AEB = \angle AFC\left( {= 90^{{^\circ}}} \right)$
$\angle BAC$ chung
nên $\Delta ABE \backsim \Delta ACF$ (g.g)
suy ra $\dfrac{AE}{AF} = \dfrac{AB}{AC}$ hay $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$
Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có:
$\angle BAC$ chung
$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$ (cmt)
nên $\Delta AEF \backsim \Delta ABC$ (c.g.c)
Suy ra $\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{AE}{AB} = \cos\angle BAC = \cos 60{^\circ} = \dfrac{1}{2}$
Do đó $EF = \dfrac{1}{2} \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\left( {cm} \right)$
Vậy $BC = 10\sqrt{3}cm,EF = 5\sqrt{3}cm$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
