a) Cho $f(x) = x^{2} + ax + b$. Biết đồ thị $y = f(x)$ đi qua hai điểm $\left( {2;10} \right)$ và $\left(

Câu hỏi số 790867:

Vận dụng

a) Cho $f(x) = x^{2} + ax + b$. Biết đồ thị $y = f(x)$ đi qua hai điểm $\left( {2;10} \right)$ và $\left( {5;25} \right)$. Tính $f(0)$.

b) Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB = 3,AC = 4$. Lấy điểm $E$ trên cạnh AC và gọi F là hình chiếu của $E$ lên BC. Xác định độ dài EC để diện tích tứ giác ABFE bằng $\dfrac{2}{3}$ diện tích tam giác ABC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790867

Phương pháp giải

a) Ta tìm được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {2a + b = 6} \\ {5a + b = 0} \end{array} \right.$

Từ đó xác định $a = - 2$ và $b = 10.$

Suy ra $f(x) = x^{2} - 2x + 10$, tính $f(0)$.

b) Gọi $x$ là độ dài EC. Vì $E$ nằm trên AC nên $0 \leq x \leq AC = 4$.

Ta có $S_{ABFE} = S_{ABC} - S_{EFC}$.

Chứng minh $\left. \Delta EFC \right.\sim\Delta BAC$ (góc-góc).

Có tỉ số đồng dạng $k$ giữa $\Delta EFC$ và $\Delta BAC$ là: $\dfrac{EC}{BC} = \dfrac{FC}{AC} = \dfrac{EF}{AB}$.

Do đó, $S_{EFC} = \dfrac{x^{2}}{25}S_{BAC}$.

Giải chi tiết

a) Đồ thị $y = f(x)$ đi qua điểm (2; 10) suy ra $2^{2} + a.2 + b = 10$ hay $2a + b = 6$.

Đồ thị $y = f(x)$ đi qua điểm (5; 25) suy ra $5^{2} + a.5 + b = 25$ hay $5a + b = 0$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {2a + b = 6} \\ {5a + b = 0} \end{array} \right.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

$\begin{array}{l} {\left( {2a - 5a} \right) + \left( {b - b} \right) = 6} \\ {- 3a = 6} \\ {a = - 2} \end{array}$

Thế $a = - 2$ vào phương trình đầu tiên, ta được $b = 10.$

Suy ra $f(x) = x^{2} - 2x + 10$

Vậy $f(0) = 0^{2} - 2.0 + 10 = 10.$

Gọi $x$ là độ dài EC. Vì $E$ nằm trên AC nên $0 \leq x \leq AC = 4$.

Diện tích tam giác ABC là $\dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6$

Diện tích tứ giác ABFE bằng $\dfrac{2}{3}.S_{ABC} = \dfrac{2}{3}.6 = 4$.

Ta có $S_{ABFE} = S_{ABC} - S_{EFC}$.

Suy ra $S_{EFC} = S_{ABC} - S_{ABFE} = 6 - 4 = 2$.

Độ dài cạnh huyền BC của $\Delta ABC$ được tính bằng định lý Pythagore:

$BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$.

Xét $\Delta EFC$ và $\Delta BAC$:

$\angle C$ là góc chung.

$F$ là hình chiếu của $E$ lên BC, nên $EF\bot BC$, suy ra $\angle EFC = 90^{{^\circ}}$.

Tam giác ABC vuông tại $A$, nên $\angle BAC = 90^{{^\circ}}$.

Do đó, $\left. \Delta EFC \right.\sim\Delta BAC$ (góc-góc).

Có tỉ số đồng dạng $k$ giữa $\Delta EFC$ và $\Delta BAC$ là: $\dfrac{EC}{BC} = \dfrac{FC}{AC} = \dfrac{EF}{AB}$.

Suy ra $\dfrac{EC}{BC} = \dfrac{x}{5}$

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng:

$\dfrac{S_{EFC}}{S_{BAC}} = \left( \dfrac{x}{5} \right)^{2} = \dfrac{x^{2}}{25}$.

Do đó, $S_{EFC} = \dfrac{x^{2}}{25}S_{BAC}$.

Ta có $S_{EFC} = 2$ và $S_{BAC} = 6$.

Thay vào phương trình trên:

$2 = \dfrac{x^{2}}{25} \cdot 6$.

$2 = \dfrac{6x^{2}}{25}$.

$50 = 6x^{2}$.

$x^{2} = \dfrac{50}{6} = \dfrac{25}{3}$.

$x = \sqrt{\dfrac{25}{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$.

Vậy độ dài EC cần tìm là $\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link