a) Giải phương trình: $2(x + 1) + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x - 2} = 0$.b) Tìm $m$ để phương trình

Câu hỏi số 790868:

Vận dụng

a) Giải phương trình: $2(x + 1) + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x - 2} = 0$.

b) Tìm $m$ để phương trình $2x^{2} - 2x - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ và thỏa mãn: $\sqrt{m + 2x_{1} - x_{1}^{2}} + \sqrt{m + 2x_{2} - x_{2}^{2}} = 2$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790868

Phương pháp giải

a) Đặt điều kiện, quy đồng và đưa về phương trình bậc nhất một ẩn để giải.

b) Áp dụng định lí Viete.

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: $x \neq 1;\,\, x \neq 2$

$2\left( {x + 1} \right) + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x - 2} = 0$

$2\left( {x + 1} \right) + \dfrac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} + \dfrac{2(x - 1)}{(x - 2)(x - 1)} = 0$

$2\left( {x + 1} \right) + \dfrac{x - 2 + 2x - 2}{(x - 1)(x - 2)} = 0$

$2\left( {x + 1} \right) + \dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = 0$

$\dfrac{2(x + 1)(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} + \dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = 0$

$\dfrac{2(x^{2} - 1)(x - 2) + 3x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = 0$

$2(x^{2} - 1)(x - 2) + 3x - 4 = 0$

$2(x^{3} - 2x^{2} - x + 2) + 3x - 4 = 0$

$2x^{3} - 4x^{2} - 2x + 4 + 3x - 4 = 0$

$2x^{3} - 4x^{2} + x = 0$

$x(2x^{2} - 4x + 1) = 0$

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

+) $x = 0$ (tmđk)

+) $2x^{2} - 4x + 1 = 0$

Ta có $\Delta' = {( - 2)}^{2} - 2.1 = 2 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}\,\,(tm);\,\, x_{2} = \dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}\,\,(tm)$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ {0;\dfrac{2 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}} \right\}$.

b) Xét $\Delta' = {( - 1)}^{2} - 2.( - m) = 1 + 2m$

Phương trình $2x^{2} - 2x - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ khi $\Delta' > 0$ hay $1 + 2m > 0$ suy ra $m > - \dfrac{1}{2}$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 1} \\ {x_{1}x_{2} = \dfrac{- m}{2}} \end{array} \right.$

Vì $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình $2x^{2} - 2x - m = 0$ nên ta có:

$2x_{1}^{2} - 2x_{1} - m = 0$ hay $- x_{1}^{2} + 2x_{1} + m = x_{1}^{2}$

$2x_{2}^{2} - 2x_{2} - m = 0$ hay $- x_{2}^{2} + 2x_{2} + m = x_{2}^{2}$

Ta có:

$\sqrt{m + 2x_{1} - x_{1}^{2}} + \sqrt{m + 2x_{2} - x_{2}^{2}} = 2$

$\sqrt{x_{1}^{2}} + \sqrt{x_{2}^{2}} = 2$

$\left| x_{1} \right| + \left| x_{2} \right| = 2$

TH1: $x_{1} > 0;x_{2} > 0$, ta có:

$x_{1} + x_{2} = 2$

$1 = 2$ (vô lí)

TH2: $x_{1} < 0;x_{2} < 0$, ta có:

$- (x_{1} + x_{2}) = 2$

$- 1 = 2$ (vô lí)

TH3: $x_{1} < 0 < x_{2}$, ta có:

$- x_{1} + x_{2} = 2$

Mà $x_{1} + x_{2} = 1$ nên $2x_{2} = 3$ hay $x_{2} = \dfrac{3}{2}$ (tm) suy ra $x_{1} = - \dfrac{1}{2}$ (tm)

Lại có:

$x_{1}x_{2} = \dfrac{- m}{2}$

$- \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2} = - \dfrac{m}{2}$

$m = \dfrac{3}{2}\,\,(tm)$

Vậy $m = \dfrac{3}{2}$ thì phương trình $2x^{2} - 2x - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ và thỏa mãn:

$\sqrt{m + 2x_{1} - x_{1}^{2}} + \sqrt{m + 2x_{2} - x_{2}^{2}} = 2$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link