Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $AB < AC$. Gọi $H$ là trực tâm; D, E, F lần lượt
Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $AB < AC$. Gọi $H$ là trực tâm; D, E, F lần lượt là chân các đường cao trên BC, CA, AB; I là trung điểm BC và K là giao điểm của AD với $(0)(K \neq A)$.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và: $\angle BIF = 2\angle BCF,\angle CIE = 2\angle CBE$.
b) Gọi S là giao điểm của EF với BC. Chứng minh tứ giác DIEF nội tiếp và: $SD.SI = SB.SC$.
c) Gọi $R$ là giao điểm của SK với $(O)(R \neq K)$ và $L$ là giao điểm của RI với $(O)(L \neq R)$. Chứng minh AL song song với BC và $AB.CR = AC.BR$.
Quảng cáo
a) Chứng minh B, C, F, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BCEF nội tiếp.
Dựa vào tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung để chứng minh vế còn lại.
b) Gọi M là trung điểm của AH
Chứng minh M,E,I,D,F cùng thuộc đường tròn đường kính MI hay EFDI nội tiếp
Chứng minh $\Delta SED \sim \Delta SIF\left( {g.g} \right)$ suy ra $SE.SF = SI.SD$ (3)
Tương tự $\Delta SEB \sim \Delta SCF\left( {g.g} \right)$ suy ra $SE.SF = SB.SC$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $SD.SI = SB.SC$ (đpcm)
c) Chứng minh KL là đường kính hay K, O, L thẳng hàng.
Khi đó chứng minh ALCB là hình thang cân
Chứng minh $\left. \Delta RIC \right.\sim\Delta RBA\,\,(g.g)$ nên $RC.AB = IC.RA$
Tương tự $\left. \Delta RIB \right.\sim\Delta RCA\,\,(g.g)$ nên $RB.AC = IB.RA$
Mà $IB = IC$ nên $RC.AB = RB.AC$ (đpcm)
a) Do $CF\bot AB,BE\bot AC$ nên $\Delta BEC,\Delta BCF$ vuông
Do $\Delta BEC$ vuông tại E nên B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Do $\Delta BFC$ vuông tại F nên B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Vậy B, C, F, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BCEF nội tiếp.
Do I là trung điểm của BC nên B, C, F, E cùng thuộc đường tròn tâm (I, IB)
Khi đó $\angle BIF = 2\angle BCF$ (tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BF)
$\angle CIE = 2\angle CBE$ (tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CE)
b) Gọi M là trung điểm của AH
Do tam giác MDI vuông tại D nên M,D,I cùng thuộc đường tròn đường kính MI
Ta có:
$\angle MEI = 180^{0} - (\angle MEA + \angle IEC) = 180^{0} - (\angle MAE + \angle ICE) = 180^{0} - \angle ADC = 90^{0}$
Suy ra tam giác MEI vuông tại E nên M,E,I cùng thuộc đường tròn đường kính MI
Tương tự $\angle MFI = 90^{0}$ nên M,F,I cùng thuộc đường tròn đường kính MI
Vậy M,E,I,D,F cùng thuộc đường tròn đường kính MI hay EFDI nội tiếp
Khi đó $\angle SED = \angle SIF$ (góc nội tiếp cùng chắn cung FD)
Suy ra $\Delta SED \sim \Delta SIF\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{SE}{SI} = \dfrac{SD}{SF}$ hay $SE.SF = SI.SD$ (3)
Ta có $\Delta SEB \sim \Delta SCF\left( {g.g} \right)$ (do $\angle S$ chung và $\angle SEB = \angle SCF$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Nên $\dfrac{SE}{SC} = \dfrac{SB}{SF}$ hay $SE.SF = SB.SC$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $SD.SI = SB.SC$ (đpcm)
c) Ta có $\angle SCK = \angle SRB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BK)
Kết hợp $\angle CSR$ chung nên $\Delta SCK \sim \Delta SRB\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{SC}{SR} = \dfrac{SK}{SB}$ hay $SB.SC = SK.SR$
Suy ra $SK.SR = SD.SI\left( {= SB.SC} \right)$ hay $\dfrac{SK}{SI} = \dfrac{SD}{SR}$
Kết hợp $\angle SKI$ chung suy ra $\Delta SDK \sim \Delta SRI\left( {c.g.c} \right)$
Suy ra $\angle SDK = \angle SRI = 90^{0}$
Suy ra $\Delta KRL$ vuông tại R. Mà $\Delta KRL$ có K, R, L cùng thuộc (O) nên suy ra KL là đường kính hay K, O, L thẳng hàng.
Khi đó $\angle KAL = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $AL\bot AD$
Mà $BC\bot AD$ nên $AL \parallel BC$
Do $AL \parallel BC$ nên ALCB là hình thang và $\angle ACB = \angle CAL$ (so le trong)
Suy ra cung AB bằng cung LC suy ra cung BL bằng cung AC
Suy ra $\angle ABC = \angle LCB$
Khi đó ALCB là hình thang cân
Xét tam giác RIC và tam giác RBA có:
$\angle BAR = \angle RCI$ (cùng chắn cung BR)
$\angle IRC = \angle BRA$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Suy ra $\left. \Delta RIC \right.\sim\Delta RBA\,\,(g.g)$
Suy ra $\dfrac{RC}{RA} = \dfrac{IC}{AB}$ hay $RC.AB = IC.RA$
Tương tự $\left. \Delta RIB \right.\sim\Delta RCA\,\,(g.g)$ nên $RB.AC = IB.RA$
Mà $IB = IC$ nên $RC.AB = RB.AC$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
