Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với
Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với $(O)(A$, $B$ là các tiếp điểm); $OM$ cắt $AB$ tại $H$.
a) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp;
b) Chứng minh $\dfrac{AM.AH}{MH} = R$;
c) Gọi $I$ là trung điểm của $AH$, đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $OI$ cắt các tia $MA,MB$ theo thứ tự tại $D$ và $F$. Chứng minh $\Delta DOF$ cân và $F$ là trung điểm $MB$.
Quảng cáo
a) Tam giác MAO và tam giác MBO vuông ở A và B nên chúng nội tiếp đường tròn đường kính MO.
b) Chứng minh $\Delta HMA \sim \Delta HAO\left( {g - g} \right)$, từ đó suy ra đpcm.
c) Chứng minh tứ giác $FIOB$ nội tiếp, từ đó suy ra $\Delta OFD$ cân tại $O$ nên $I$ là trung điểm $DF$. Do đó $ADHF$ là hình bình hành suy ra $HF\text{//}MA$
a) Ta có: $MA,MB$ là tiếp tuyến tại A và B của $(O)$ (giả thiết)
Suy ra $MA\bot OA$ tại $A;MB\bot OB$ tại $B$ (định nghĩa tiếp tuyến)
Suy ra$\angle MAO = \angle MBO = 90^{\circ}$
Tam giác MAO và tam giác MBO vuông ở A và Bnên chúng nội tiếp đường tròn đường kính MO.
Nên các điểm $\text{A},\text{B},\text{M},\text{O}$ cùng thuộc đường tròn đường kính AO . Nên tứ giác $MAOB$ nội tiếp.
b) Xét $\Delta HMA$ và $\Delta HAO$ có
$\angle MHA = \angle AHO = 90^{{^\circ}}$
$\angle AMH = \angle HAO$ (cùng phụ với $\angle MAH$)
Suy ra $\Delta HMA \sim \Delta HAO\left( {g - g} \right)$
Suy ra $\dfrac{HM}{HA} = \dfrac{MA}{OA}$ nên $\dfrac{AM.AH}{MH} = OA = R$
c) Ta có $\angle OID = \angle OAD\mspace{6mu} = 90^{{^\circ}}$ suy ra ADOI nội tiếp
Suy ra $\angle ODI = \angle OAI$ (hai góc nội tiếp chắn cung OI)
Ta có $\angle FIO = \angle FBO = 90^{{^\circ}}$ suy ra FIOB nội tiếp
Suy ra $\angle IFO = \angle IBO$ (hai góc nội tiếp chắn cung OI)
Ta có $OA = OB = R$ suy ra $\Delta OAB$ cân tại $O$ nên $\angle OAB = \angle OBA$
Suy ra$\mspace{6mu}\angle ODI = \angle OFI$
Suy ra $\Delta OFD$ cân tại $O$
Ta có $\Delta ODF$ cân tại $O,OI$ là đường cao
Suy ra $OI$ là đường trung tuyến suy ra $I$ là trung điểm $DF$
Mà $I$ là trung điểm $AH$ (giả thiết)
Suy ra $ADHF$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Suy ra $HF\text{//}AD$ hay $HF\text{//}MA$
Xét $\Delta MAB$ có $H$ là trung điểm $AB$ và $HF\text{//}MA\left( {F \in MB} \right)$
Suy ra $F$ là trung điểm $MB$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
