1) Giải bất phương trình: $2x + (5x + 1) \leq 3(2x + 3)$2) Cho biểu thức $M = \dfrac{\sqrt{x} -

Câu hỏi số 792017:

Thông hiểu

1) Giải bất phương trình: $2x + (5x + 1) \leq 3(2x + 3)$

2) Cho biểu thức $M = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ và $P = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2 + 8\sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{2}{1 - \sqrt{x}}$ với $x > 0,x \neq 1$.

a) Tính giá trị của biểu thức $M$ khi $x = 49$

b) Chứng minh $P = \dfrac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 1}$

c) Đặt $Q = M \cdot P + \dfrac{x - 5}{\sqrt{x}}$. So sánh $Q$ với 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792017

Phương pháp giải

1) Chuyển vế đổi dấu và giải bất phương trình.

a) Thay $x = 49$ vào biểu thức M để tính.

b) Rút gọn biểu thức P bằng cách quy đồng.

c) Xác định biểu thức $Q = M \cdot P + \dfrac{x - 5}{\sqrt{x}}$, từ đó xét hiệu Q và 3 hoặc áp dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết

$\begin{array}{l} {2x + (5x + 1) \leq 3(2x + 3)} \\ {2x + 5x + 1 \leq 6x + 9} \\ {7x - 6x \leq 9 - 1} \\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \leq 8} \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \leq 8$.

2) a) ĐKXĐ $x > 0,x \neq 1$

Thay $x = 49$ (tm đk) vào biểu thức M, ta có:

$M = \dfrac{\sqrt{49} - 1}{\sqrt{49}} = \dfrac{7 - 1}{7} = \dfrac{6}{7}$

b) $P = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2 + 8\sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{2}{1 - \sqrt{x}}$

$\begin{array}{l} {= \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2 + 8\sqrt{x}}{x - 1} - \dfrac{2}{1 - \sqrt{x}}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2 + 8\sqrt{x}}{x - 1} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}} \\ {= \dfrac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 1) + 2 + 8\sqrt{x} + 2(\sqrt{x} + 1)}{x - 1}} \\ {= \dfrac{x - \sqrt{x} - 2\sqrt{x} + 2 + 2 + 8\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 2}{x - 1}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {= \dfrac{x + 7\sqrt{x} + 6}{x - 1}} \\ {= \dfrac{(x + \sqrt{x}) + (6\sqrt{x} + 6)}{x - 1}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) + 6(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {= \dfrac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 1}} \end{array}$

Vậy $P = \dfrac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 1}$ (đpcm)

c) Ta có:

$Q = M \cdot P + \dfrac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x}}$

$\begin{array}{l} {= \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{x - 5}{\sqrt{x}}} \\ {= \dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 6)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} + \dfrac{x - 5}{\sqrt{x}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} {= \dfrac{x + 6\sqrt{x} - \sqrt{x} - 6}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} + \dfrac{(x - 5)(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}} \\ {= \dfrac{x + 5\sqrt{x} - 6 + x\sqrt{x} - x - 5\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}} \\ {= \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}} \\ {= \dfrac{{(\sqrt{x})}^{3} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}} \\ {= \dfrac{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}} \\ {= \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}} \\ {= \sqrt{x} + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}} \end{array}$

Theo bất đẳng thức Cauchy cho 2 số, ta có:

$\begin{array}{l} {\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}} = 2} \\ \left. \Rightarrow\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} + 1 \geq 3 \right. \end{array}$

Vậy $Q \geq 3$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link