Cho phương trình $x^{2} - 5x + a = 0$. Biết phương trình có một nghiệm là $x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$.

Câu hỏi số 792018:

Thông hiểu

Cho phương trình $x^{2} - 5x + a = 0$. Biết phương trình có một nghiệm là $x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$. Tính giá trị của biểu thức $A = x_{1}^{3} - x_{1} + x_{2}^{3} - x_{2} - 285$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792018

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Viète

Giải chi tiết

Ta có: $x = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5} + 1} = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - 2\sqrt{5} + 1^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} = \left| {\sqrt{5} - 1} \right| = \sqrt{5} - 1$

Thay $x = \sqrt{5} - 1$ vào phương trình $x^{2} - 5x + a = 0$, ta có:

Conversion failed

Phương trình trên trở thành: $x^{2} - 5x + 7\sqrt{5} - 11 = 0$.

Xét $\Delta = {( - 5)}^{2} - 4(7\sqrt{5} - 11) = 25 - 28\sqrt{5} + 44 = 69 - 28\sqrt{5} > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$

Áp dụng định lí Viete, ta có:

$x_{1} + x_{2} = 5;\ x_{1}x_{2} = 7\sqrt{5} - 11$

Ta có:

$\ A = x_{1}^{3} - x_{1} + x_{2}^{3} - x_{2} - 285$

$\begin{array}{l} {= \left( {x_{1}^{3} + x_{2}^{3}} \right) - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) - 285} \\ {= \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}} \right) - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) - 285} \\ {= \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}} \right) - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) - 285} \\ {= \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left\lbrack {\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2}} \right\rbrack - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) - 285} \end{array}$

$\begin{array}{l} {= 5\left\lbrack {5^{2} - 3(7\sqrt{5} - 11)} \right\rbrack - 5 - 285} \\ {= 5(25 - 21\sqrt{5} + 33) - 290} \\ {= 125 - 105\sqrt{5} + 165 - 290} \\ {= - 105\sqrt{5}} \end{array}$

Vậy $A = - 105\sqrt{5}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link