Cho tam giác nhọn ABC (với $AB < AC$) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H. 1)
Cho tam giác nhọn ABC (với $AB < AC$) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H.
1) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
2) Gọi I là giao điếm của hai đường thẳng AH và EF. Chứng minh rằng $IA \cdot IH = IE \cdot IF$.
3) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với AM, cắt cung nhỏ $\overset{\frown}{CE}$ của đường tròn đường kính BC tại điểm K. Chứng minh AK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Quảng cáo
1) Chứng minh A, E, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh $\Delta FIH \sim \Delta AIE\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{IF}{IA} = \dfrac{IH}{IE}$ hay $IE.IF = IH.IA$ (đpcm)
3) Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm AH và P là giao điểm HK với AM
Chứng minh B, C, E, F, K cùng thuộc (M)
Chứng minh $\Delta MEP \sim \Delta MAE\left( {g.g} \right)$. Khi đó $\dfrac{ME}{MA} = \dfrac{MP}{ME}$ hay $MP.MA = ME^{2}$
Mà $ME = MK$ (cùng bằng bán kính của (M)) nên $MP.MA = MK^{2}$ hay $\dfrac{MK}{MA} = \dfrac{MP}{MK}$
Khi đó chứng minh được $\Delta MKP \sim \Delta MAK\left( {c.g.c} \right)$
Suy ra $\angle MPK = \angle MKA = 90^{0}$ hay $MK\bot AK$
Xét $(M)$ có $K \in (M),AK\bot MK$ tại K nên AK là tiếp tuyến của $(M)$ (đpcm).
1) Do $BE\bot AC$ nên $\Delta AEH$ vuông tại E.
Suy ra A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Tương tự $\Delta AFH$ vuông tại F nên A, F, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Vậy A, E, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.
2) Xét $\Delta FIH$ và $\Delta AIE$ có
$\angle FHI = \angle IEA$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
$\angle FIH = \angle EIA$ (hai góc đối đỉnh)
Suy ra $\Delta FIH \sim \Delta AIE\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{IF}{IA} = \dfrac{IH}{IE}$ hay $IE.IF = IH.IA$ (đpcm)
3) Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm AH và P là giao điểm HK với AM
Do $\Delta BFC$ vuông tại F nên B, F, C cùng thuộc (M)
Tương tự $\Delta BEC$ vuông tại E nên B, E, C cùng thuộc (M)
Kết hợp K thuộc (M) nên B, C, E, F, K cùng thuộc (M)
Do $HP\bot AM\left( {gt} \right)$ nên $\Delta AHP$ vuông tại P nên P thuộc đường tròn đường kính AH
Do N là trung điểm AH nên N là tâm đường tròn qua A, E, F, P, H.
$\Delta ABC$ có đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm. Suy ra $AH\bot BC$ tại D
Khi đó
$\angle NEM = 180^{0} - \left( {\angle NEA + \angle MEC} \right) = 180^{0} - \left( {\angle NAE + \angle MCE} \right) = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0}$
Suy ra $\angle MEP = 90^{0} - \angle PEN = 90^{0} - \dfrac{180^{0} - \angle ENP}{2}$ (do $\Delta NEP$ cân tại N và tổng 3 góc bằng $180^{0}$)
$= 90^{0} - 90^{0} + \dfrac{1}{2}\angle ENP = \angle EAP$ (cùng chắn cung PE)
Vậy $\angle MEP = \angle EAM$
Xét $\Delta MEP$ và $\Delta MAE$ có $\angle MEP = \angle EAM$ và $\angle EMA$ chung
Suy ra $\Delta MEP \sim \Delta MAE\left( {g.g} \right)$. Khi đó $\dfrac{ME}{MA} = \dfrac{MP}{ME}$ hay $MP.MA = ME^{2}$
Mà $ME = MK$ (cùng bằng bán kính của (M)) nên $MP.MA = MK^{2}$ hay $\dfrac{MK}{MA} = \dfrac{MP}{MK}$
Xét $\Delta MKP$ và $\Delta MAK$ có $\dfrac{MK}{MA} = \dfrac{MP}{MK}$ và $\angle KMA$ chung nên $\Delta MKP \sim \Delta MAK\left( {c.g.c} \right)$
Suy ra $\angle MPK = \angle MKA = 90^{0}$ hay $MK\bot AK$
Xét $(M)$ có $K \in (M),AK\bot MK$ tại K nên AK là tiếp tuyến của $(M)$ (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
