Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Trên đường tròn $(O)$ lấy điểm $C(C$ khác $A$ và $B)$.
Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Trên đường tròn $(O)$ lấy điểm $C(C$ khác $A$ và $B)$. Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $M$.
a) Chứng minh tứ giác $OAMC$ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi $H$ là giao điểm của $MO$ và $AC$. Chứng minh $MO\bot AC$ và $MH \cdot MO = MA^{2}$.
c) Gọi $I$ là giao điểm của $MB$ và đường tròn $(O)(I$ khác $B)$. Tia $IO$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $K$. Chứng minh $KC//HI$.
Quảng cáo
a) $\angle MAO = \angle MCO = 90^{0}$ suy ra tứ giác $OAMC$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$.
b) Chứng minh $MO\bot AC$ nên $\Delta MAO$ và $\Delta MHA$ là hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra đpcm.
c) Chứng minh $KC$, $HI$ cùng vuông góc với IC, từ đó suy ra $KC//HI$.
a) Vì $MA,MC$ là các tiếp tuyến tại $A$ và $C$ nên $MA\bot AO;MC\bot CO$.
Xét tứ giác $OAMC$ có $\angle MAO = \angle MCO = 90^{0}$.
Suy ra tứ giác $OAMC$ nội tiếp đường tròn đường kính $MO$.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $MA = MC$ mà $OA = OC$
Suy ra $MO$ là trung trực của $AC$ nên $MO\bot AC$.
Dễ thấy $\Delta MAO$ và $\Delta MHA$ là hai tam giác đồng dạng nên ta có: $\dfrac{MA}{MH} = \dfrac{MO}{MA}$ suy ra $MH.MO = MA^{2}$
c) Ta có: $\angle AIB = 90^{{^\circ}}$ suy ra $\angle MIA = 90^{{^\circ}}$
Vì tứ giác MIHA có $\angle MIA = \angle MHA = 90^{{^\circ}}$ nên là tứ giác nội tiếp.
Suy ra $\angle MHI = \angle MAI$.
Ta có $\angle MAI + \angle IAB = 90^{{^\circ}},\angle ABI + \angle IAB = 90^{{^\circ}}$ suy ra $\angle MAI = \angle ABI$.
Lai có $\angle ABI = \angle ACI$ nên suy ra được $\angle MHI = \angle ACI$.
Ta có $\angle MHI + \angle IHC = 90^{{^\circ}}$ suy ra $\angle ACI + \angle IHC = 90^{{^\circ}}$ hay $\angle HCI + \angle IHC = 90^{{^\circ}}$.
Vậy suy ra được $\angle HIC = 90^{{^\circ}}$ mà $\angle KCI = 90^{{^\circ}}$ do đó KC, HI cùng vuông góc với IC.
Suy ra $KC//HI$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
