Cho đường tròn $\left( \text{O} \right)$, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia đối
Cho đường tròn $\left( \text{O} \right)$, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E. Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại F.
a) Chứng minh tứ giác BOCF là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của OF và BC; đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt đường tròn O) tại G. Chứng minh $\text{CH}.\text{FC} = \text{BH}.\text{FE}$ và ba điểm $\text{D},\text{H},\text{G}$ thẳng hàng.
Quảng cáo
a) $\Delta OBC$ vuông tại $\text{O}$, $\Delta BCF$ vuông tại $F$ nên 4 điểm $\text{B},\text{O},\text{C},\text{F}$ cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) - Chứng minh FH là phân giác trong của $\bigtriangleup BCF$ nên $\dfrac{CH}{BH} = \dfrac{FC}{FB}$; $\Delta FBC \sim \Delta FCE$ nên $\dfrac{FC}{FB} = \dfrac{FE}{FC}$. Từ đó suy ra đpcm.
- Lần lượt chứng minh D,G,E thẳng hàng và $D,\text{H},\text{E}$ thẳng hàng.
a) Ta có $\Delta OBC$ vuông tại $\text{O~}\left( {\text{AB}\bot\text{CD}} \right)$ nên $\Delta OBC$ nội tiếp đường tròn đường kính BC
Suy ra 3 điểm $\text{B},\text{O},\text{C}$ thuộc đường tròn đường kính BC (1)
Lại có $\Delta BCF$ vuông tại $\text{F~}\left( {\text{CF}\bot\text{BE}} \right)$ nên $\Delta BCF$ nội tiếp đường tròn đường kính BC
Suy ra 3 điểm B, F, C thuộc đường tròn đường kính BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm $\text{B},\text{O},\text{C},\text{F}$ thuộc đường tròn đường kính BC do đó tứ giác BOCF nội tiếp đường tròn.
b) Ta có $\text{OB} = \text{OC} = \text{R}$ và $AB\bot CD$ tại O
Suy ra $\Delta OBC$ vuông cân tại O nên $\angle OCB = \angle OBC = 45^{{^\circ}}$
Tứ giác BOCF nội tiếp nên $\angle BFO = \angle OCB = 45^{{^\circ}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung OB) và $\angle CFO = \angle OBC = 45^{{^\circ}}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung OC)
Do đó $\angle CFO = \angle BFO = 45^{{^\circ}}$ suy ra FH là phân giác trong của $\Delta BCF$ nên $\dfrac{CH}{BH} = \dfrac{FC}{FB}\mspace{6mu}$(3)
Mặt khác chứng minh được $\Delta FBC \sim \Delta FCE$
Suy ra $\dfrac{FC}{FB} = \dfrac{FE}{FC}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra: $\dfrac{CH}{BH} = \dfrac{FE}{FC}$ hay $CH.FC = BH.FE($đpcm$)$
Ta thấy:
$\angle DGC = 90^{{^\circ}}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
$\angle EGC = 90^{{^\circ}}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà $\angle DGE = \angle DGC + \angle EGC = 90^{{^\circ}} + 90^{{^\circ}} = 180^{{^\circ}}$
Suy ra D,G,E thẳng hàng (5)
Theo câu b ta có: $\dfrac{HC}{HB} = \dfrac{FE}{FC}$
Mặt khác $\Delta FCE \sim \Delta FBC$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{FE}{FC} = \dfrac{CE}{BC} = \dfrac{CE}{BD}$ ( vì $\text{BD} = \text{BC}$)
Do đó $\dfrac{HC}{HB} = \dfrac{CE}{BD}$
Xét $\Delta\text{BHD}$ và $\Delta\text{CHE}$ có $\dfrac{HC}{HB} = \dfrac{CE}{BD}$ và $\angle DBH = \angle ECH = 90^{\circ}$
Suy ra $\Delta BHD \sim \Delta CHE($c. g. c) nên $\angle DHB = \angle EHC$ do đó $\text{D},\text{H},\text{E}$ thẳng hàng (6)
Từ (5) và (6) suy ra $\text{D},\text{H,G}$ thẳng hàng
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
