Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + 4bc + 4ca = 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 793168:

Vận dụng

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + 4bc + 4ca = 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \dfrac{11a + 11b + 24c}{\sqrt{8a^{3} + 224} + \sqrt{8b^{3} + 224} + \sqrt{8c^{3} + 28}}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:793168

Phương pháp giải

Vì $ab + 4bc + 4ca = 28$ nên ta có: $\sqrt{8a^{2} + 224} = \sqrt{8\left( {b + 4c} \right)\left( {a + b} \right)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm.

Giải chi tiết

Vì $ab + 4bc + 4ca = 28$ nên ta có:

$\sqrt{8a^{2} + 224} = \sqrt{8a^{2} + 8\left( {ab + 4bc + 4ca} \right)}$
$= \sqrt{8\left( {a^{2} + ab + 4bc + 4ca} \right)} = \sqrt{8\left( {a + 4c} \right)\left( {a + b} \right)}$

$\sqrt{8b^{2} + 224} = \sqrt{8b^{2} + 8\left( {ab + 4bc + 4ca} \right)}$

$= \sqrt{8\left( {b^{2} + ab + 4bc + 4ca} \right)} = \sqrt{8\left( {b + 4c} \right)\left( {a + b} \right)}$

$\sqrt{16c^{2} + 28} = \sqrt{16c^{2} + ab + 4bc + 4ca} = \sqrt{\left( {a + 4c} \right)\left( {b + 4c} \right)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

$\sqrt{8a^{2} + 224} = \sqrt{\left( {2a + 8c} \right)\left( {4a + 4b} \right)}$

$= \sqrt{\left( {2a + 8c} \right)\left( {4a + 4b} \right)} \leq \dfrac{2a + 8c + 4a + 4b}{2} = \dfrac{6a + 4b + 8c}{2}$

$\sqrt{8b^{2} + 224} = \sqrt{\left( {2b + 8c} \right)\left( {4a + 4b} \right)}$

$= \sqrt{\left( {2b + 8c} \right)\left( {4a + 4b} \right)} \leq \dfrac{2b + 8c + 4b + 4a}{2} = \dfrac{4a + 6b + 8c}{2}$

$\sqrt{16c^{2} + 28} = \sqrt{\left( {a + 4c} \right)\left( {b + 4c} \right)} \leq \dfrac{a + b + 8c}{2}$

Suy ra:

$\sqrt{8a^{2} + 224} + \sqrt{8b^{2} + 224} + \sqrt{16c^{2} + 28}$

$\leq \dfrac{6a + 4b + 8c}{2} + \dfrac{4a + 6b + 8c}{2} + \dfrac{a + b + 8c}{2} = \dfrac{11a + 11b + 24c}{2}$

Do đó: $T \geq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} {2a + 8c = 4a + 4b} \\ {2b + 8c = 4a + 4b} \\ {a + 4c = b + 4c} \\ {ab + 4bc + 4ca = 28} \end{array} \right.$ suy ra $a = b = 2;c = \dfrac{3}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 khi $a = b = 2;c = \dfrac{3}{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link