Cho nửa đường tròn đường kính AB, có tâm là điểm O. Đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc
Cho nửa đường tròn đường kính AB, có tâm là điểm O. Đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc với đường kính AB cắt nửa đường tròn đã cho tại điểm C. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D (D không trùng với C), kẻ CH vuông góc với đường thẳng BD tại điểm H.
a) Chứng minh tứ giác OBHC nội tiếp.
b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng HO và BC. Chứng minh HO là tia phân giác của $\angle CHB$ và CE.CH = BE.HD.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại điểm K (K không trùng với C). Chứng minh DE > 2.CK
Quảng cáo
a) Chứng minh C, H, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính CB hay tứ giác OBHC nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta DHC \sim \Delta CHB\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{DH}{CH} = \dfrac{HC}{HB}$.
Mà $\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{CH}{HB}$ nên $\dfrac{DH}{CH} = \dfrac{CE}{BE}$ hay $DH.BE = CE.CH$
c) Kẻ đường kính CM của $(O)$. Do $K \in (O)$ nên $KM\bot CK$
Chứng minh $D,K,M$ thẳng hàng
Gọi E’ là giao điểm của CB và DM.
Do CM là đường kính nên $\angle CBM = 90^{0}$ nên $BM\bot CB$
Mà $CD\bot BC$ nên $BM \parallel CD$
Chứng minh $HE'$ là phân giác của $\angle CHB$
Mà HE là phân giác của $\angle CHB$ nên $E \equiv E'$ hay D, E, K, M thẳng hàng.
Chứng minh $\Delta CDK \sim \Delta ECK\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{CK}{EK} = \dfrac{DK}{CK}$ hay $CK^{2} = EK.DK$
Lại có $EK.DK \leq \dfrac{\left( {EK + DK} \right)^{2}}{4} = \dfrac{DE^{2}}{4}$ nên $CK^{2} \leq \dfrac{DE^{2}}{4}$
Suy ra $CK \leq \dfrac{DE}{2}$ hay $DE \geq 2CK$
Dấu “=” xảy ra khi K là trung điểm của DE hay K phải thoả mãn $\angle KCD = 45^{0}$, mà $\angle ACM = 45^{0}$ nên $\angle MCK = 90^{0}$ (vô lý)
Vậy $DE > 2CK$ (đpcm)
a) Do $OC\bot AB$ tại O nên $\Delta COB$ vuông tại O nên C, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính CB
Có $CH\bot BD$ tại H nên $\Delta CBH$ vuông tại H nên C, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính CB
Vậy C, H, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính CB hay tứ giác OBHC nội tiếp.
b) Ta có $OC = OB$ (cùng bằng bán kính của $(O)$) nên $\Delta OBC$ vuông cân tại O
Khi đó $\angle OCB = \angle OBC = 45^{0}$
Do OBHC nội tiếp nên $\angle CHO = \angle CBO = 45^{0}$ (cùng chắn cung CO)
và $\angle OHB = \angle OCB = 45^{0}$ (cùng chắn cung OB)
Suy ra $\angle CHO = \angle OHB = 45^{0}$ hay OH là phân giác của $\angle CHB$.
Do OH là phân giác của $\angle CHB$ nên $\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{CH}{HB}$ (tính chất đường phân giác)
Do $C \in (O)$ nên $\angle ACB = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $CB\bot CD$ tại C
Suy ra $\angle DCH + \angle HCB = 90^{0}$
Mà $\angle CBH + \angle BCH = 180^{0} - \angle CHB = 90^{0}$ nên $\angle DCH = \angle CBH$ (cùng cộng $\angle BCH$ bằng $90^{0}$)
Kết hợp $\angle CHB = \angle CHD = 90^{0}$ suy ra $\Delta DHC \sim \Delta CHB\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{DH}{CH} = \dfrac{HC}{HB}$.
Mà $\dfrac{CE}{BE} = \dfrac{CH}{HB}$ nên $\dfrac{DH}{CH} = \dfrac{CE}{BE}$ hay $DH.BE = CE.CH$
c) Kẻ đường kính CM của $(O)$. Do $K \in (O)$ nên $KM\bot CK$
Lại có $K$ thuộc đường tròn đường kính CD nên $\angle CKD = 90^{0}$ hay $DK\bot CK$
Suy ra $D,K,M$ thẳng hàng
Gọi E’ là giao điểm của CB và DM.
Do CM là đường kính nên $\angle CBM = 90^{0}$ nên $BM\bot CB$
Mà $CD\bot BC$ nên $BM \parallel CD$
Khi đó $\dfrac{CE'}{E'B} = \dfrac{CD}{BM}$ (thales). Mà $BM = BC$ nên $\dfrac{CD}{BM} = \dfrac{CD}{BC} = \tan\angle CBD = \dfrac{CH}{BH}$
Vậy $\dfrac{CE'}{E'B} = \dfrac{CH}{HB}$ suy ra $HE'$ là phân giác của $\angle CHB$
Mà HE là phân giác của $\angle CHB$ nên $E \equiv E'$ hay D, E, K, M thẳng hàng.
Ta có $\angle CDE = \angle ECK$ (do cùng cộng với $\angle DCK$ bằng $90^{0}$)
Kết hợp $\angle CKD = \angle CKE = 90^{0}$. Khi đó $\Delta CDK \sim \Delta ECK\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{CK}{EK} = \dfrac{DK}{CK}$ hay $CK^{2} = EK.DK$
Lại có $EK.DK \leq \dfrac{\left( {EK + DK} \right)^{2}}{4} = \dfrac{DE^{2}}{4}$ nên $CK^{2} \leq \dfrac{DE^{2}}{4}$
Suy ra $CK \leq \dfrac{DE}{2}$ hay $DE \geq 2CK$
Dấu “=” xảy ra khi K là trung điểm của DE hay K phải thoả mãn $\angle KCD = 45^{0}$, mà $\angle ACM = 45^{0}$ nên $\angle MCK = 90^{0}$ (vô lý)
Vậy $DE > 2CK$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
