Cho phương trình $x^{2} - mx - 3 = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm

Câu hỏi số 795046:

Vận dụng

Cho phương trình $x^{2} - mx - 3 = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\, x_{2}$ sao cho $H = \dfrac{2(x_{1} + x_{2}) + 5}{x_{2}^{2} + mx_{1} - x_{1}x_{2}}$đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795046

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Viete.

Xét hiệu $H - 1$.

Giải chi tiết

Ta có: $\Delta = {( - m)}^{2} - 4.( - 3) = m^{2} + 12 > 0,\,\,\forall m \in {\mathbb{R}}$

Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},\,\, x_{2}$

Theo định lí Viete ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = m} \\ {x_{1}x_{2} = - 3} \end{array} \right.$

Vì $x_{2}$ là nghiệm của phương trình đã cho nên $x_{2}^{2} - mx_{2} - 3 = 0$ hay $x_{2}^{2} = mx_{2} + 3$

Khi đó $H = \dfrac{2\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 5}{mx_{2} + 3 + mx_{1} - x_{1}x_{2}} = \dfrac{2\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 5}{m\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 3 - x_{1}x_{2}} = \dfrac{2m + 5}{m^{2} + 6}$

Ta có: $H - 1 = \dfrac{2m + 5}{m^{2} + 6} - 1 = \dfrac{2m + 5 - m^{2} - 6}{m^{2} + 6} = \dfrac{- m^{2} + 2m - 1}{m^{2} + 6} = \dfrac{- \left( {m - 1} \right)^{2}}{m^{2} + 6}$

Vì $- \left( {m - 1} \right)^{2} \leq 0,\,\,\, m^{2} + 6 > 0,\,\,\forall m \in {\mathbb{R}}$ nên $\dfrac{- \left( {m - 1} \right)^{2}}{m^{2} + 6} \leq 0$ hay $H \leq 1$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $m = 1$

Vậy $m = 1$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link