a) Một bác nông dân có một bình đựng nước chè xanh, phần chứa nước là dạng hình trụ có
a) Một bác nông dân có một bình đựng nước chè xanh, phần chứa nước là dạng hình trụ có bán kính đáy bằng 4 cm, mực nước trong bình có chiều cao bằng 10 cm . Bác muốn đổ hết nước từ bình sang một cái bát uống nước, phần chứa nước là dạng nửa hình cầu có bán kính bằng 6 cm (hình vẽ bên). Hỏi nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài hay không? Vì sao?
b) Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng 1 cm , một đáy của nhân kẹo nằm trên mặt đáy của hình nón và có tâm trùng với tâm đáy hình nón, đường tròn đáy còn lại của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Phần còn lại của kẹo được phủ đầy bằng sữa khô (hình vẽ bên). Biết rằng công ty đã thiết kế viên kẹo có thể tích nhỏ nhất để tiết kiệm tối đa nguyên liệu sữa khô. Tính chiều cao của viên kẹo.
Quảng cáo
a) Thể tích nước trong bình là: $V = \pi R^{2}h$
Thể tích cái bát là: $V' = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$
So sánh và kết luận.
b)
Đặt $AM = x\left( {cm,x > 0} \right)$
Khi đó chiều cao viên kẹo là $h = OA = x + 1$
Áp dụng định lý Thales ta có:
$\dfrac{AM}{OA} = \dfrac{EM}{OB}$ hay $\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{1}{R}$
Thể tích viên kẹo là: $V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2}h$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
a) Thể tích nước trong bình là: $V = \pi R^{2}h = \pi.4^{2}.10 = 160\pi\left( {cm^{3}} \right)$
Thể tích cái bát là: $V' = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi r^{3} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\pi.6^{3} = 144\pi\left( {cm^{3}} \right)$
Vì $V > V'$nên nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài.
b)
Đặt $AM = x\left( {cm,x > 0} \right)$
Khi đó chiều cao viên kẹo là $h = OA = x + 1$
Áp dụng định lý Thales ta có:
$\dfrac{AM}{OA} = \dfrac{EM}{OB}$ hay $\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{1}{R}$ suy ra $R = \dfrac{x + 1}{x}$
Thể tích viên kẹo là: $V = \dfrac{1}{3}\pi R^{2}h = \dfrac{1}{3}\pi\left( \dfrac{x + 1}{x} \right)^{2}.\left( {x + 1} \right) = \dfrac{1}{3}\pi.\dfrac{x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1}{x^{2}}$
$= \pi\left( {\dfrac{x}{3} + 1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{3x^{2}}} \right) = \pi\left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{24} + \dfrac{x}{24} + \dfrac{1}{3x^{2}} + 1} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x} \geq 2\sqrt{\dfrac{x}{4}.\dfrac{1}{x}} = 2.\dfrac{1}{2} = 1$
$\dfrac{x}{24} + \dfrac{x}{24} + \dfrac{1}{3x^{2}} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{24}.\dfrac{x}{24}.\dfrac{1}{3x^{2}}} = 3.\dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{4}$
Suy ra $V \geq \pi\left( {1 + \dfrac{1}{4} + 1} \right) = \dfrac{9\pi}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{x}} \\ {\dfrac{x}{24} = \dfrac{1}{3x^{2}}} \end{array} \right.$ suy ra $x = 2$ (tm)
Vậy chiều cao của viên kẹo là $h = 3\left( {cm} \right)$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
