Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$, đường cao AH. Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với $AB,AC(D \in AB,E
Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$, đường cao AH. Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với $AB,AC(D \in AB,E \in AC)$.
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Trên tia đối của tia DH lấy điểm $F\left( {F \neq D} \right)$. Đường thẳng qua F vuông góc với FB cắt đường thẳng AH tại G. Kẻ GI vuông góc với $HF(I \in HF)$. Chứng minh tam giác IFG đồng dạng với tam giác HBG và I F=D H.
c) Tia phân giác của góc HEC cắt CH tại K. Kẻ K M, K N lần lượt vuông góc với EH, $EC(M \in EH,N \in EC)$. Hai đoạn thẳng CM và HN cắt nhau tại T. Gọi P là giao điểm của HN và KM, Q là giao điểm của CM và KN. Chứng minh ET vuông góc với PQ.
Quảng cáo
a) Chứng minh $A,D,H,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta GFI \sim \Delta GBH\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{FI}{HB} = \dfrac{GI}{GH}$
Do $\angle BAH = \angle BHD$ (cùng cộng với $\angle AHD$ bằng $90^{0}$) và $\angle HDB = \angle HDA = 90^{0}$ nên $\Delta HBD \sim \Delta AHD\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{HD}{AD} = \dfrac{HB}{AH}$ hay $\dfrac{HD}{HB} = \dfrac{AD}{AH}$
Lại có $AD \parallel GI$ nên $\dfrac{AD}{AH} = \dfrac{GI}{HG}$ suy ra $\dfrac{FI}{HB} = \dfrac{HD}{HB}$
Suy ra $FI = HD$
c) Gọi L là giao điểm của EQ và PN, J là giao điểm của CM và EP
Chứng minh $\Delta NEQ \sim \Delta EHN\left( {c.g.c} \right)$
Chứng minh $\Delta ELN$ vuông tại L hay $EQ\bot HN$ tại L
Chứng minh tương tự ta có $EP\bot CM$ tại J
Xét $\Delta EPQ$ có QJ và PL là đường cao cắt nhau tại T nên T là trực tâm
Suy ra $ET\bot PQ$ (đpcm)
a) Do $HD\bot AB,HE\bot AC$ suy ra $\Delta AHD$ vuông tại D nên A, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH
$\Delta AEH$ vuông tại E nên A, E, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Suy ra $A,D,H,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Do $GF\bot BF$ tại F nên $\Delta GBF$ vuông tại F nên G, B, F cùng thuộc đường tròn đường kính GB
Mà $\Delta GHB$ vuông tại H nên G, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính GB
Vậy G, H, B, F cùng thuộc đường tròn đường kính GB
Suy ra $\angle GFI = \angle GBH$ (cùng chắn cung GH) (1)
Do $GI \parallel AB$ mà $AB\bot HF$ nên $GI\bot HF$ suy ra $\angle GIF = \angle GHB = 90^{0}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta GFI \sim \Delta GBH\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{FI}{HB} = \dfrac{GI}{GH}$
Do $\angle BAH = \angle BHD$ (cùng cộng với $\angle AHD$ bằng $90^{0}$) và $\angle HDB = \angle HDA = 90^{0}$ nên $\Delta HBD \sim \Delta AHD\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{HD}{AD} = \dfrac{HB}{AH}$ hay $\dfrac{HD}{HB} = \dfrac{AD}{AH}$
Lại có $AD \parallel GI$ nên $\dfrac{AD}{GI} = \dfrac{AH}{HG}$ hay $\dfrac{AD}{AH} = \dfrac{GI}{HG}$ nên suy ra $\dfrac{FI}{HB} = \dfrac{HD}{HB}$
Suy ra $FI = HD$
c) Gọi L là giao điểm của EQ và PN, J là giao điểm của CM và EP
Do EMKN là hình chữ nhật ($\angle MEN = \angle ENK = \angle EMK = 90^{0}$) có EK là phân giác nên EMKN là hình vuông
Ta có $KN \parallel EH$ nên $\dfrac{CN}{CE} = \dfrac{NQ}{EM} = \dfrac{KN}{HE}$
Mà $ME = NE$ nên $\dfrac{NQ}{EM} = \dfrac{NQ}{NE} = \dfrac{KN}{HE} = \dfrac{EN}{HE}$ hay $\dfrac{NQ}{NE} = \dfrac{NE}{HE}$
Mà $\angle ENQ = \angle NEH = 90^{0}$ nên $\Delta NEQ \sim \Delta EHN\left( {c.g.c} \right)$
Khi đó $\angle NEQ = \angle EHN$ nên $\angle NEQ + \angle ENH = \angle EHN + \angle ENH = 90^{0}$
Suy ra $\Delta ELN$ vuông tại L hay $EQ\bot HN$ tại L
Chứng minh tương tự ta có $EP\bot CM$ tại J
Xét $\Delta EPQ$ có QJ và PL là đường cao cắt nhau tại T nên T là trực tâm
Suy ra $ET\bot PQ$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
