Cho phương trình $x^{2} - 5x + 2 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},\,\, x_{2}$. Không giải phương trình, hãy tính

Câu hỏi số 795626:

Vận dụng

Cho phương trình $x^{2} - 5x + 2 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},\,\, x_{2}$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt{16x_{1}{}^{2} + 8x_{1}x_{2} + 5x_{2} - 2} + 3x_{2}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795626

Phương pháp giải

Vì $x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - 5x + 2 = 0$, nên ta có:

$x_{2}^{2} - 5x_{2} + 2 = 0$ suy ra $5x_{2} - 2 = x_{2}^{2}$

Thay $5x_{2} - 2 = x_{2}^{2}$ vào biểu thức trong dấu căn:

$16x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + 5x_{2} - 2$$= \left( {4x_{1} + x_{2}} \right)^{2}$

Suy ra $\left. \sqrt{16x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + 5x_{2} - 2} = \sqrt{{(4x_{1} + x_{2})}^{2}} = \middle| 4x_{1} + x_{2} \right|$

Do đó biểu thức $A$ trở thành: $\left. A = \middle| 4x_{1} + x_{2} \middle| + 3x_{2} \right.$

Áp dụng định lí Viete.

Giải chi tiết

$x^{2} - 5x + 2 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$. Theo Viete, ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 5} \\ {x_{1}x_{2} = 2} \end{array} \right.$

Suy ra hai nghiệm $x_{1} > 0,x_{2} > 0$.

Vì $x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - 5x + 2 = 0$, nên ta có:

$x_{2}^{2} - 5x_{2} + 2 = 0$ suy ra $5x_{2} - 2 = x_{2}^{2}$

Thay $5x_{2} - 2 = x_{2}^{2}$ vào biểu thức trong dấu căn:

$16x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + 5x_{2} - 2$

$= 16x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}$

$= \left( {4x_{1}} \right)^{2} + 2.\left( {4x_{1}} \right).x_{2} + \left( x_{2} \right)^{2}$

$= \left( {4x_{1} + x_{2}} \right)^{2}$

Suy ra $\left. \sqrt{16x_{1}^{2} + 8x_{1}x_{2} + 5x_{2} - 2} = \sqrt{{(4x_{1} + x_{2})}^{2}} = \middle| 4x_{1} + x_{2} \right|$

Do đó biểu thức $A$ trở thành: $\left. A = \middle| 4x_{1} + x_{2} \middle| + 3x_{2} \right.$

Vì $x_{1} > 0$ và $x_{2} > 0$, nên $4x_{1} + x_{2} > 0$.

Suy ra $\left| 4x_{1} + x_{2} \middle| = 4x_{1} + x_{2} \right.$.

Thay vào biểu thức $A$, ta được

$A = (4x_{1} + x_{2}) + 3x_{2}$

$A = 4x_{1} + 4x_{2}$

$\begin{array}{l} {A = 4(x_{1} + x_{2})} \\ {A = 4.5 = 20} \end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ là 20.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link