1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {\sqrt{x^{2} + 2024} + x} \right)\left( {\sqrt{y^{2} +

Câu hỏi số 798137:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {\sqrt{x^{2} + 2024} + x} \right)\left( {\sqrt{y^{2} + 2024} - y} \right) = 2024} \\ {\sqrt{x + 4} + 2x^{2} = 9y - \sqrt{y - 1} + 10} \end{array} \right.$

2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn $x^{2} + 5y^{2} + 2x - 4xy - 4y = 168$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798137

Phương pháp giải

1) Phân tích lần lượt 2 phương trình:

$\sqrt{x^{2} + 2024} - x = \sqrt{y^{2} + 2024} - y\ \left( \text{*} \right)$

$\sqrt{y^{2} + 2024} + y = \sqrt{x^{2} + 2024} + x\ \left( \text{**} \right)$

Từ $\left( \text{*} \right),\left( \text{**} \right)$ suy ra $- x + y = - y + x$ hay $x = y$.
2) Tách phương trình ban đầu thành $~{(x - 2y + 1)}^{2} + y^{2} = 13^{2}$.

Giải chi tiết

1) $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {\sqrt{x^{2} + 2024} + x} \right)\left( {\sqrt{y^{2} + 2024} - y} \right) = 2024} \\ {\sqrt{x + 4} + 2x^{2} = 9y - \sqrt{y - 1} + 10} \end{array} \right.$

Điều kiện xác định: $x \geq - 4,y \geq 1$.
Xét phương trình (1), ta có:

$\ \left( {\sqrt{x^{2} + 2024} + x} \right)\left( {\sqrt{x^{2} + 2024} - x} \right) = 2024$

$= \left( {\sqrt{x^{2} + 2024} + x} \right)\left( {\sqrt{y^{2} + 2024} - y} \right)$

$\left. ~\Rightarrow\sqrt{x^{2} + 2024} - x = \sqrt{y^{2} + 2024} - y\ \left( \text{*} \right) \right.$

Tương tự $\left( {\sqrt{y^{2} + 2024} - y} \right)\left( {\sqrt{y^{2} + 2024} + y} \right) = 2024 = \left( {\sqrt{x^{2} + 2024} + x} \right)\left( {\sqrt{y^{2} + 2024} - y} \right)$ $\left. \Rightarrow\sqrt{y^{2} + 2024} + y = \sqrt{x^{2} + 2024} + x\ \left( \text{**} \right) \right.$.

Từ $\left( \text{*} \right),\left( \text{**} \right)$ suy ra $- x + y = - y + x$ hay $x = y$.
Thay $x = y$ vào (2) ta dược

$\sqrt{y + 4} + 2y^{2} = 9y - \sqrt{y - 1} + 10$
$2y^{2} - 9y - 10 + \sqrt{y + 4} + \sqrt{y - 1} = 0$

$\left( {2y^{2} - 10y} \right) + \left( {y - 5} \right) + \left( {\sqrt{y + 4} - 3} \right) + \left( {\sqrt{y - 1} - 2} \right) = 0$

$~\left( {y - 5} \right)\left( {2y + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{y + 4} + 3} + \dfrac{1}{\sqrt{y - 1} + 2}} \right) = 0.$

Vì $y \geq 1$ nên $2y + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{y + 4} + 3} + \dfrac{1}{\sqrt{y - 1} + 2} > 0$, do đó $\left. y = 5\Rightarrow x = 5 \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x,y} \right) = \left( {5;5} \right)$.
2) $x^{2} + 5y^{2} + 2x - 4xy - 4y = 168$

$\left. ~\Leftrightarrow x^{2} - 2x\left( {2y - 1} \right) + {(2y - 1)}^{2} + y^{2} = 169 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(x - 2y + 1)}^{2} + y^{2} = 13^{2} \right.$

Vì $\ {(x - 2y + 1)}^{2} \geq 0,y^{2} > 0$ nên $\left. y^{2} \leq 169\Leftrightarrow 0 < y \leq 13 \right.$

Với $y = 1$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 168$ (loại)
Với $y = 2$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 165$ (loại)
Với $y = 3$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 160$ (loại)
Với $y = 4$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 153$ (loại)

Với $y = 5$ thì $\left. {(x - 2y + 1)}^{2} = 144\Leftrightarrow{(x - 9)}^{2} = 144\Leftrightarrow x = 21 \right.$ (vì $x > 0$) (thỏa mãn)
Với $y = 6$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 133$ (loại)
Với $y = 7$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 120$ (loại)
Với $y = 8$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 105$ (loại)
Với $y = 9$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 85$ (loại)
Với $y = 10$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 69$ (loại)
Với $y = 11$ thì ${(x - 2y + 1)}^{2} = 48$ (loại)
Với $y = 12$ thì $\left. {(x - 2y + 1)}^{2} = 25\Leftrightarrow{(x - 23)}^{2} = 25\Leftrightarrow x = 28 \right.$ (thỏa mãn)
Với $y = 13$ thì $\left. {(x - 2y + 1)}^{2} = 0\Leftrightarrow{(x - 25)}^{2} = 0\Leftrightarrow x = 25 \right.$
Vậy $\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {21;5} \right);\left( {28;12} \right);\left( {25;13} \right)} \right\}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link