Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a \geq 0,b \geq 0,c \geq 0$ và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$. Tìm giá

Câu hỏi số 798138:

Vận dụng

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a \geq 0,b \geq 0,c \geq 0$ và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \dfrac{a}{1 + bc} + \dfrac{b}{1 + ca} + \dfrac{c}{1 + ab}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798138

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

$VT = \dfrac{a^{2}}{a + abc} + \dfrac{b^{2}}{b + abc} + \dfrac{c^{2}}{c + abc} \geq \dfrac{{(a + b + c)}^{2}}{a + b + c + 3abc}$

$\geq \dfrac{{(a + b + c)}^{2}}{a + b + c + \dfrac{\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)}{3}}$$~ = \dfrac{3\left( {a + b + c} \right)}{3 + ab + bc + ca}$

Ta chứng minh $\dfrac{3\left( {a + b + c} \right)}{3 + ab + bc + ca} \geq 1$

$\left. ~\Leftrightarrow 3\left( {a + b + c} \right) \geq ab + bc + ca + 3 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 9{(a + b + c)}^{2}\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) \geq \left\lbrack {3\left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) + ab + bc + ca} \right\rbrack^{2} \right.$

Đặt $a^{2} + b^{2} + c^{2} = k\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {k \geq 1} \right)$, ta có

$9\lbrack k\left( {ab + bc + ca} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\rbrack$$k\left( {ab + bc + ca} \right)$

$\geq {\lbrack 3k\left( {ab + bc + ca} \right) + ab + bc + ca\rbrack}^{2}$

$\left. \Leftrightarrow 9\left( {k + 2} \right)k \geq {(3k + 1)}^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9k^{2} + 18k \geq 9k^{2} + 6k + 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 12k - 1 \geq 0\ \right.$ (đúng vì $k \geq 1$)

Do đó, (1) đúng, ta hoàn tất chứng minh.
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn $\left. \Leftrightarrow a = 1,b = c = 0 \right.$.
Vậy $Q_{\text{min}} = 1$ khi $\left( {a,b,c} \right) = \left( {1,0,0} \right)$ và các hoán vị.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link