Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp trong dường tròn tâm $O,AB <
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp trong dường tròn tâm $O,AB < AC$. Các đường cao $AD,BM,CN$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H(D,M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,CA,AB)$. Các đường thẳng $MN$ và $BC$ cắt nhau tại diểm $E$, dường thẳng $AE$ cắt dường tròn $(O)$ tại diểm $G(G$ không trùng với $A$), dường thẳng $AD$ cắt dường tròn $(O)$ tại diểm $A'\left( A' \right.$ không trùng với $\left. A \right),I$ là trung diểm của doạn thẳng $BC$.
1) Chứng minh $EB \cdot EC = EN \cdot EM = EG \cdot EA$.
2) Chứng minh tứ giác $DIMN$ nội tiếp.
3) Tính tỉ số $\dfrac{AA'}{OI + HD}$.
Quảng cáo
1) Chứng minh $\Delta ENB \sim \Delta ECM\text{(góc-góc)}$
$\left. \Rightarrow\dfrac{EN}{EC} = \dfrac{EB}{EM}\Leftrightarrow EB \cdot EC = EN \cdot EM \right.$ (1)
Chứng minh $\Delta EGB \sim \Delta ECA\text{(góc-góc)}$
$\left. ~\Rightarrow\dfrac{EG}{EC} = \dfrac{EB}{EA}\Leftrightarrow EG \cdot EA = EB \cdot EC \right.$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $EB \cdot EC = EN \cdot EM = EG \cdot EA$.
2) Kẻ đường kính $AK$ của dường tròn $(O)$
Chứng minh $H,I,K$ và $G,H,K$ thẳng hàng.
3) Chứng minh $OI = \dfrac{1}{2}AH$ (5) và $HD = \dfrac{1}{2}HA'$ (6)
Từ (5) và (6) suy ra $\left. OI + HD = \dfrac{1}{2}\left( {AH + HA'} \right) = \dfrac{1}{2}AA'\Rightarrow\dfrac{AA'}{OI + HD} = 2 \right.$.
1) Vì tứ giác $BNMC$ có $\angle BNC = \angle BMC = 90^{\circ}$ nên tứ giác $BNMC$ nội tiếp.
$\left. \Rightarrow\angle ENB = \angle ECM. \right.$
Xét $\Delta ENB$ và $\Delta ECM$ có:
$\angle MEC$ chung
$\angle ENB = \angle ECM$
$\left. \Rightarrow\Delta ENB \sim \Delta ECM\text{(góc-góc)} \right.$
$\left. \Rightarrow\dfrac{EN}{EC} = \dfrac{EB}{EM}\Leftrightarrow EB \cdot EC = EN \cdot EM \right.$ (1)
Vì tứ giác $AGBC$ nội tiếp $(O)$ nên $\angle EGB = \angle ECA$.
Xét $\Delta EGB$ và $\Delta ECA$ có:
$\angle AEC$ chung
$\angle EGB = \angle ECA$
$\left. \Rightarrow\Delta EGB \sim \Delta ECA\text{(góc-góc)} \right.$
$\left. \Rightarrow\dfrac{EG}{EC} = \dfrac{EB}{EA}\Leftrightarrow EG \cdot EA = EB \cdot EC \right.$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $EB \cdot EC = EN \cdot EM = EG \cdot EA$.
2) Kẻ đường kính $AK$ của dường tròn $(O)$ thì $\angle ABK = \angle ACK = 90^{\circ}$ hay $AB\bot BK,AC\bot CK$.
Mà $AB\bot CH,AC\bot BH$ nên $BK \parallel CH,CK \parallel BH$ nên $BHCK$ là hình bình hành.
Mà $I$ là trung diểm $BC$ nên $I$ cũng là trung diểm $HK$ hay $H,I,K$ thẳng hàng (3)
Vì $EN \cdot EM = EG \cdot EA$ nên $AGNM$ là tứ giác nội tiếp nên $G$ thuộc dường tròn dường kính $AH$ hay 5 điểm $A,G,N,H,M$ cùng thuộc một dường tròn.
$\left. \Rightarrow AGNH \right.$ nội tiếp nên $\angle AGH = \angle ANH = 90^{\circ}$.
$\left. \Rightarrow\angle AGH = \angle AGK = 90^{\circ} \right.$ nên $G,H,K$ thẳng hàng (4)
Từ (3), (4) suy ra $G,H,I,K$ thẳng hàng hay $IG\bot AE$.
Xét $\Delta AED$ và $\Delta IEG$ có
$\angle AEI\text{~chung}$
$\angle ADE = \angle IGE = 90^{\circ}$
$\left. \Rightarrow\Delta AED \backsim \Delta IEG\text{(góc-góc)} \right.$
$\left. \Rightarrow\dfrac{ED}{EG} = \dfrac{AE}{IE}\Leftrightarrow ED \cdot EI = EA \cdot EG = EN \cdot EM \right.$.
$\Rightarrow$ Tứ giác $DIMN$ nội tiếp.
3) Xét $\Delta AHK$ có $AO = OK,HI = IK$ nên $OI$ là đường trung bình của $\Delta AHK$.
$\left. \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}AH \right.$ (5)
Ta có $\angle BHA' = \angle AHM = \angle ACB = \angle AA'B = \angle BA'H$ nên $\Delta BHA'$ cân tại $B$.
Mà $BD\bot A'H$ nên $HD = DA'$ hay $HD = \dfrac{1}{2}HA'$ (6)
Từ (5) và (6) suy ra $\left. OI + HD = \dfrac{1}{2}\left( {AH + HA'} \right) = \dfrac{1}{2}AA'\Rightarrow\dfrac{AA'}{OI + HD} = 2 \right.$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
