Cho ba số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 = 2\left( {ab + bc + ca} \right)$.

Câu hỏi số 798150:

Vận dụng

Cho ba số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 = 2\left( {ab + bc + ca} \right)$. Chứng minh $3 \leq a + b + c \leq \dfrac{2\left( {ab + bc + ca} \right) + 3}{3}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798150

Phương pháp giải

Do $ab + bc + ca \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$.
Thế vào giả thuyết $\left. ab + bc + ca \leq 2\left( {ab + bc + ca} \right) - 3\Rightarrow ab + bc + ca \geq 3 \right.$.

Giải chi tiết

Do $ab + bc + ca \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$.
Thế vào giả thuyết $\left. ab + bc + ca \leq 2\left( {ab + bc + ca} \right) - 3\Rightarrow ab + bc + ca \geq 3 \right.$.
Mà ${(a + b + c)}^{2} \geq 3\left( {ab + bc + ca} \right)$, suy ra $a + b + c \geq 3$.
Từ giả thuyết: $\left. {(a + b + c)}^{2} + 3 = 4\left( {ab + bc + ca} \right)\Rightarrow ab + bc + ca = \dfrac{{(a + b + c)}^{2} + 3}{4} \right.$.
Ta chứng minh:

$\left. a + b + c \leq \dfrac{2\left( {ab + bc + ca} \right) + 3}{3}\Leftrightarrow 3\left( {a + b + c} \right) \leq \dfrac{{(a + b + c)}^{2} + 3}{2} + 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(a + b + c - 3)}^{2} \geq 0 \right.$ (đúng)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link