Với mỗi số tự nhiên n, đặt $a_{n} = {(2 + \sqrt{3})}^{n} + {(2 - \sqrt{3})}^{n}$.a) Chứng minh $a_{n + 2}

Câu hỏi số 798151:

Vận dụng

Với mỗi số tự nhiên n, đặt $a_{n} = {(2 + \sqrt{3})}^{n} + {(2 - \sqrt{3})}^{n}$.
a) Chứng minh $a_{n + 2} = 4a_{n + 1} - a_{n}$ với mọi $n = 0,1,2,\ldots$.
b) Tìm n để $a_{n}$ chia hết cho 4.
c) Tìm n để $a_{n}$ chia hết cho 14.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798151

Phương pháp giải

a) Ta có: $a_{n + 1} = {(2 + \sqrt{3})}^{n + 1} + {(2 - \sqrt{3})}^{n + 1};a_{n + 2} = {(2 + \sqrt{3})}^{n + 2} + {(2 - \sqrt{3})}^{n + 2}$

b) Từ câu a): $a_{n + 2} = 4a_{n + 1} - a_{n}$ suy ra $a_{n + 2} \equiv - a_{n}\left( {\text{mod}4} \right)$
c) Từ câu b) ta suy ra $a_{n}$ luôn là số chẵn, do đó ta chỉ cần xét $a_{n}$ chia hết cho 7 .

Giải chi tiết

a) Ta có: $a_{n + 1} = {(2 + \sqrt{3})}^{n + 1} + {(2 - \sqrt{3})}^{n + 1};a_{n + 2} = {(2 + \sqrt{3})}^{n + 2} + {(2 - \sqrt{3})}^{n + 2}$

Suy ra:

$a_{n + 2} - 4a_{n + 1} + a_{n}$

$~ = {(2 + \sqrt{3})}^{n}\left\lbrack {{(2 + \sqrt{3})}^{2} - 4\left( {2 + \sqrt{3}} \right) + 1} \right\rbrack + {(2 - \sqrt{3})}^{n}\left\lbrack {{(2 - \sqrt{3})}^{2} - 4\left( {2 - \sqrt{3}} \right) + 1} \right\rbrack$$~ = 0$

Vậy $a_{n + 2} = 4a_{n + 1} - a_{n}$
b) Từ câu a): $a_{n + 2} = 4a_{n + 1} - a_{n}$ suy ra $a_{n + 2} \equiv - a_{n}\left( {\text{mod}4} \right)$ Bằng quy nạp, ta suy ra: $a_{n} \equiv {( - 1)}^{n/2}a_{0}\left( {\text{mod}4} \right)$ nếu n chẵn; $a_{n} \equiv {( - 1)}^{{({n - 1})}/2}a_{1}\left( {\text{mod}4} \right)$ nếu n chẵn

Mà $a_{0} = 2,a_{1} = 4$ nên $a_{n}$ chia hết cho 4 khi n là số lẻ.
c) Từ câu b) ta suy ra $a_{n}$ luôn là số chẵn, do đó ta chỉ cần xét $a_{n}$ chia hết cho 7 .

Xét các giá trị cụ thể như sau:

$a_{0} = 2;a_{1} = 4;a_{2} = 0;a_{3} = 3;a_{4} = 5;a_{5} = 3;a_{6} = 0;a_{7} = 4;a_{8} = 2;a_{9} = 4;a_{10} = 0$

Bằng chứng minh quy nạp, ta suy ra $a_{n + 8} \equiv a_{n}\left( {\text{mod}7} \right)$ với mọi n.
Vậy $a_{n}$ chia hết cho 14 khi $n = 8k + 2$ hoặc $n = 8k + 6$, với k là số tự nhiên.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link