1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{3} + z^{3} = y} \\ {y^{3} + x^{3} = z} \\ {z^{3} + y^{3} =

Câu hỏi số 798149:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{3} + z^{3} = y} \\ {y^{3} + x^{3} = z} \\ {z^{3} + y^{3} = x} \end{array} \right.$

2) Cho hai số nguyên dương $a,b$ phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm $\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left\lbrack {x^{2} - 2\left( {a + b} \right)x + ab + 2} \right\rbrack = 0$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798149

Phương pháp giải

1) Giải hệ phương trình $\begin{cases} {x^{3} + z^{3} = y} & \text{~(1)~} \\ {y^{3} + x^{3} = z} & \text{~(2)~} \\ {z^{3} + y^{3} = x} & \text{~(3)~} \end{cases}$

Lấy hiệu phương trình (1) và (2) vế theo vế ta được: $\left( {y - z} \right)\left( {y^{2} + yz + z^{2} + 1} \right) = 0$.

2) Điều kiện: $x \geq 0$.

Phương trình trở thành: $\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x^{2} - 2\left( {a + b} \right)x + ab + 2 = 0\ \left( \text{*} \right)} \end{array} \right.$.

Giải chi tiết

1) Giải hệ phương trình $\begin{cases} {x^{3} + z^{3} = y} & \text{~(1)~} \\ {y^{3} + x^{3} = z} & \text{~(2)~} \\ {z^{3} + y^{3} = x} & \text{~(3)~} \end{cases}$

Lấy hiệu phương trình (1) và (2) vế theo vế ta được: $\left( {y - z} \right)\left( {y^{2} + yz + z^{2} + 1} \right) = 0$.
Do $y^{2} + yz + z^{2} = \left( {y + \dfrac{z}{2}} \right)^{2} + \dfrac{3z^{2}}{4} \geq 0$ nên $y = z$.
Tương tự, lấy hiệu phương trình (2) và (3) ta được $x = z$.
Thế lại (1): $\left. 2x^{3} = x\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0 = y = z} \\ {x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = y = z} \\ {x = - \dfrac{1}{\sqrt{2}} = y = z} \end{array} \right. \right.$.

2) Điều kiện: $x \geq 0$.

Phương trình trở thành: $\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x^{2} - 2\left( {a + b} \right)x + ab + 2 = 0\ \left( \text{*} \right)} \end{array} \right.$.
Xét pt $\left( \text{*} \right): = {(a + b)}^{2} - ab - 2 = a^{2} + b^{2} + ab - 2 \geq 0$ (do a, b nguyên dương);

$S = a + b > 0;P = ab + 2 > 0$

Suy ra pt (*) có hai nghiệm phân biệt dương.Ta nhận xét tiếp pt (*) không nhận $x = 1$ là nghiệm. Giả sử ngược lại, thế vào pt ta có:

$\left. 1^{2} - 2\left( {a + b} \right)1 + ab + 2 = 0\Leftrightarrow\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right) = 1 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {a = b = 1} \\ {a = b = 3} \end{matrix} \right. \right.$ (trái giải thuyết a,b phân biệt)

Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link