Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, có đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm của $AH;E,F$ lần lượt

Câu hỏi số 798340:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, có đường cao $AH$. Gọi $M$ là trung điểm của $AH;E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $BM,AC$. Đường thẳng $CE$ cắt các đường thẳng $HF$ và $BF$ lần lượt tại $G$ và $K$. Chứng minh rằng:
a) $\angle BEC = \angle HEA$.
b) $AG$ vuông góc với $BF$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798340

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta EBC \sim \Delta EIIA$ (c.g.c) ;
Do vậy $\angle BEC = \angle HEA$.

b) Chứng minh $ABHI$ nội tiếp, vì thế $\angle AIK = \angle AIB = \angle AHB = 90^{\circ}\left( \text{dpcm} \right)$.

Giải chi tiết

a) Do $HE\bot BM$ và $AH\bot BC$ (gt) nên $\angle HBE = \angle MHE$ (1).
Suy ra hai tam giác vuông $HBE$ và $MHE$ đồng dạng.
Suy ra $\dfrac{BH}{BE} = \dfrac{HM}{HE}$ (2).
Do $M,H$ lần lượt là trung điểm của $AH,BC$ nên $BC = 2BH$ và $HA = 2HM(3)$.
Từ (2) & (3) suy ra $\dfrac{BC}{BE} = \dfrac{HA}{HE}(4)$; từ (1) & (4) $\left. \Rightarrow\Delta EBC \sim \Delta EIIA \right.$ (c.g.c) ;
Do vậy $\angle BEC = \angle HEA$.

b) Do $\Delta EBC \sim \Delta EHA$ nên $\angle HCE = \angle BCE = \angle HAE$ dẫn đến tứ giác $AEHC$ nội tiếp.
Do tứ giác $AEHC$ nội tiếp nên $\angle HEA + \angle HCA = 180^{\circ}$ (5).
Do $M,E,B$ thẳng hàng nên $\angle MEG + \angle BEC = 180^{\circ}$ (6).
Do $\Delta EBC \sim \Delta EHA$ nên $\angle BEC = \angle HEA$ (7).
Từ (5), (6) & (7) suy ra $\angle HCA = \angle MEG$ (8).
Lại có $\angle HCA = \angle MHG$ vì cùng phụ $\angle HAC$ (9).
Từ (8)&(9) suy ra $\angle MEG = \angle MHG$ dẫn dến tứ giác $MEHG$ nội tiếp, suy ra $\angle HGM = \angle MEH = 90^{\circ}$ hay $MG\bot HF$, suy ra $MG//AF$.
Mà $M$ là trung điểm của $HA$ nên $G$ là trung điểm của $HF$.

Ta có $\angle AHF = \angle ACH$ vì cùng phụ $\angle CHF$ dẫn đến hai tam giác vuông $HFA$ và $CFH$ đồng dạng, suy ra $\dfrac{HA}{HF} = \dfrac{CH}{CF}$.
Do $H,G$ lần lượt là trung điểm của $BC,HF$ nên $BC = 2CH$ và $HF = 2HG$.
Khi đó $\left. \dfrac{HA}{2IIG} = \dfrac{BC}{2CF}\Leftrightarrow\dfrac{HA}{IIG} = \dfrac{CB}{CF} \right.$.
Kết hợp với (9) dẫn đến $\left. \Delta BCF \sim \Delta AHG\Rightarrow\angle HBI = \angle CBF = \angle HAG = \angle HAI \right.$ (Với $I$ là giao điểm của $AG$ và $BF$). Từ đó suy ra $ABHI$ nội tiếp, vì thế $\angle AIK = \angle AIB = \angle AHB = 90^{\circ}\left( \text{dpcm} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link