Cho bảng ô vuông kích thước $\left( {2023 \times 2023} \right)$, ô vuông kích thước có kích thước
Cho bảng ô vuông kích thước $\left( {2023 \times 2023} \right)$, ô vuông kích thước có kích thước $\left( {1 \times 1} \right)$ được gọi là ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông đơn vị của bảng được tô bằng một trong hai màu den hoặc trắng, sao cho mỗi ô vuông đơn vị được tô màu den được kề với ít nhất ba ô vuông đơn vị được tô màu trắng (hai ô vuông đơn vị có cạnh chung nhau được gọi là kề nhau). Hỏi số ô vuông đơn vị được tô màu đen nhiều nhất là bao nhiêu?
Quảng cáo
Ta chia bảng ô vuông $2023 \times 2023$ thành $\dfrac{2022^{2}}{4}$ hình $2 \times 2,2022$ hình $1 \times 2$ và 1 hình $1 \times 1$ như sau:
Ta chia bảng ô vuông $2023 \times 2023$ thành $\dfrac{2022^{2}}{4}$ hình $2 \times 2,2022$ hình $1 \times 2$ và 1 hình $1 \times 1$ như sau:
(Chú thích: Trong hình trên, các hình $2 \times 2$ sẽ xếp thành một hình $2022 \times 2022$, các hình $1 \times 1$ sẽ ghép thành hai hình $1 \times 2022$ nằm ở phía bên phải và phía dưới hình $2022 \times 2022$, và hình $1 \times 1$ là ô góc dưới bên phải của bảng $2023 \times 2023$ ban đầu)
Hiển nhiên 4 ô góc của bảng $2023 \times 2023$ phải có màu trắng, nên ô $1 \times 1$ ở cách chia trên phải có màu trắng.
Xét phần còn lại của bảng, giả sử số ô đen trong phần còn lại lớn hơn số ô trắng. Khi đó, tồn tại một hình $(1 \times 2$ hoặc $2 \times 2)$ trong cách chia trên có số ô den nhiều hơn số ô trắng. Nếu như một hình $1 \times 2$ trong cách chia trên có số ô den nhiều hơn ô trắng, thì hình đó phải chứa 2 ô đen, Điều này mâu thuẫn với đề bài do khi đó 2 ô đen trên chỉ có thể kề với tối đa 2 ô trắng mỗi ô.
Nếu như một hình $2 \times 2$ trong cách chia trên có số ô den nhiều hơn ô trắng, thì hình đó phải chứa ít nhất 3 ô đen. Điều này mâu thuẫn với đề bài do khi đó trong 3 ô đen trên sẽ phải có 1 ô kề với 2 ô đen còn lại, do đó ô này chỉ có thể kề với tối đa 2 ô trắng.
Như vậy giả sử ban đầu là vô lý, suy ra trong phần còn lại của bảng thì số ô đen không thể nhiều hơn số ô trắng. Suy ra số ô đen tối đa là $\dfrac{2023^{2} - 1}{2} = 2046264$
Môt cách tô thoả mãn con số trên sẽ là tô đen trắng xen kẽ theo kiểu bàn cờ.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
