a) Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn các điều kiện sau: $|a| < 2024,|b| < 2024$ và $\sqrt{a + 2024} +

Câu hỏi số 798465:

Vận dụng

a) Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn các điều kiện sau: $|a| < 2024,|b| < 2024$ và $\sqrt{a + 2024} + \sqrt{2025 - a} - \sqrt{2024 - a} = \sqrt{b + 2024} + \sqrt{2025 - b} - \sqrt{2024 - b}$.

Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2024} + a^{2025} - b^{2024} - b^{2025}$.
b) Tồn tại hay không các số hữu tỉ dương $a,b$ sao cho $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798465

Phương pháp giải

a) Điều kiện: $- 2024 < a < 2024, - 2024 < b < 2024$

Đưa về phương trình tích.

b) Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương $a,b$ sao cho $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$.
Phân tích và kết luận.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: $- 2024 < a < 2024, - 2024 < b < 2024$. Ta có:

$\sqrt{a + 2024} + \sqrt{2025 - a} - \sqrt{2024 - a} = \sqrt{b + 2024} + \sqrt{2025 - b} - \sqrt{2024 - b}$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {\sqrt{a + 2024} - \sqrt{b + 2024}} \right) + \left( {\sqrt{2025 - a} - \sqrt{2025 - b}} \right) + \left( {\sqrt{2024 - b} - \sqrt{2024 - a}} \right) = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {a - b} \right) \cdot \left( {\dfrac{1}{\sqrt{a + 2024} + \sqrt{b + 2024}} - \dfrac{1}{\sqrt{2025 - a} + \sqrt{2025 - b}} + \dfrac{1}{\sqrt{2024 - b} + \sqrt{2024 - a}}} \right) = 0\left( \text{*} \right) \right.$

Do $\dfrac{1}{\sqrt{2024 - a} + \sqrt{2024 - b}} - \dfrac{1}{\sqrt{2025 - a} + \sqrt{2025 - b}} > 0$ nên

$\dfrac{1}{\sqrt{a + 2024} + \sqrt{b + 2024}} + \dfrac{1}{\sqrt{2024 - a} + \sqrt{2024 - b}} - \dfrac{1}{\sqrt{2025 - a} + \sqrt{2025 - b}} > 0$

Do đó, từ (*) suy ra $a = b$.
Với $a = b$ thì $M = a^{2024} + a^{2025} - b^{2024} - b^{2025} = 0$.

b) Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương $a,b$ sao cho $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$.
Ta có: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$

$\left. ~\Rightarrow a + b + 2\sqrt{ab} = \sqrt{2024} \right.$

$\left. ~\Rightarrow 2\sqrt{ab} = \sqrt{2024} - \left( {a + b} \right) \right.$

$\left. ~\Rightarrow 4ab = 2024 + {(a + b)}^{2} - 2\left( {a + b} \right)\sqrt{2024} \right.$ (*)

Từ $\left( \text{*} \right)$ và $a > 0,b > 0$, ta suy ra:

$2\left( {a + b} \right)\sqrt{2024} = 2024 + \left\lbrack {{(a + b)}^{2} - 4ab} \right\rbrack$

$\left. ~\Rightarrow\sqrt{2024} = \dfrac{2024 + \left\lbrack {{(a + b)}^{2} - 4ab} \right\rbrack}{2\left( {a + b} \right)} \right.$ (**)

Từ $\left( \text{**} \right)$, ta nhận được mâu thuẫn vì $\sqrt{2024}$ là số vô tỉ, còn $\dfrac{2024 + \left\lbrack {{(a + b)}^{2} - 4ab} \right\rbrack}{2\left( {a + b} \right)}$ là số hữu tỉ.
Vậy không tồn tại các số hữu tỉ dương $a,b$ sao cho $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link