a) Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn các điều kiện sau: $|a| < 2024,|b| < 2024$ và $\sqrt{a + 2024} +

Câu hỏi số 798465:

Vận dụng

a) Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn các điều kiện sau: $|a| < 2024,|b| < 2024$ và $\sqrt{a + 2024} + \sqrt{2025 - a} - \sqrt{2024 - a} = \sqrt{b + 2024} + \sqrt{2025 - b} - \sqrt{2024 - b}$.

Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2024} + a^{2025} - b^{2024} - b^{2025}$.
b) Tồn tại hay không các số hữu tỉ dương $a,b$ sao cho $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798465

Phương pháp giải

a) Điều kiện: $- 2024 < a < 2024, - 2024 < b < 2024$

Đưa về phương trình tích.

b) Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương $a,b$ sao cho $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$.
Phân tích và kết luận.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: $- 2024 < a < 2024, - 2024 < b < 2024$. Ta có:

$\sqrt{a + 2024} + \sqrt{2025 - a} - \sqrt{2024 - a} = \sqrt{b + 2024} + \sqrt{2025 - b} - \sqrt{2024 - b}$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {\sqrt{a + 2024} - \sqrt{b + 2024}} \right) + \left( {\sqrt{2025 - a} - \sqrt{2025 - b}} \right) + \left( {\sqrt{2024 - b} - \sqrt{2024 - a}} \right) = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {a - b} \right) \cdot \left( {\dfrac{1}{\sqrt{a + 2024} + \sqrt{b + 2024}} - \dfrac{1}{\sqrt{2025 - a} + \sqrt{2025 - b}} + \dfrac{1}{\sqrt{2024 - b} + \sqrt{2024 - a}}} \right) = 0\left( \text{*} \right) \right.$

Do $\dfrac{1}{\sqrt{2024 - a} + \sqrt{2024 - b}} - \dfrac{1}{\sqrt{2025 - a} + \sqrt{2025 - b}} > 0$ nên

$\dfrac{1}{\sqrt{a + 2024} + \sqrt{b + 2024}} + \dfrac{1}{\sqrt{2024 - a} + \sqrt{2024 - b}} - \dfrac{1}{\sqrt{2025 - a} + \sqrt{2025 - b}} > 0$

Do đó, từ (*) suy ra $a = b$.
Với $a = b$ thì $M = a^{2024} + a^{2025} - b^{2024} - b^{2025} = 0$.

b) Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương $a,b$ sao cho $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$.
Ta có: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$

$\left. ~\Rightarrow a + b + 2\sqrt{ab} = \sqrt{2024} \right.$

$\left. ~\Rightarrow 2\sqrt{ab} = \sqrt{2024} - \left( {a + b} \right) \right.$

$\left. ~\Rightarrow 4ab = 2024 + {(a + b)}^{2} - 2\left( {a + b} \right)\sqrt{2024} \right.$ (*)

Từ $\left( \text{*} \right)$ và $a > 0,b > 0$, ta suy ra:

$2\left( {a + b} \right)\sqrt{2024} = 2024 + \left\lbrack {{(a + b)}^{2} - 4ab} \right\rbrack$

$\left. ~\Rightarrow\sqrt{2024} = \dfrac{2024 + \left\lbrack {{(a + b)}^{2} - 4ab} \right\rbrack}{2\left( {a + b} \right)} \right.$ (**)

Từ $\left( \text{**} \right)$, ta nhận được mâu thuẫn vì $\sqrt{2024}$ là số vô tỉ, còn $\dfrac{2024 + \left\lbrack {{(a + b)}^{2} - 4ab} \right\rbrack}{2\left( {a + b} \right)}$ là số hữu tỉ.
Vậy không tồn tại các số hữu tỉ dương $a,b$ sao cho $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{\sqrt{2024}}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link