a) Chứng minh rằng $\sqrt{2\left( {x^{2} - 1} \right)} \leq \dfrac{3x - 1}{2}$, với $x \geq 1$.b) Tìm giá trị

Câu hỏi số 798806:

Vận dụng

a) Chứng minh rằng $\sqrt{2\left( {x^{2} - 1} \right)} \leq \dfrac{3x - 1}{2}$, với $x \geq 1$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{1 - \dfrac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{y^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{z^{2}}}$, với $x,y,z$ là các số thực không nhỏ hơn 1 và thoả mãn $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{xyz}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798806

Phương pháp giải

a) Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$.

b) Do với $\forall x,y,z \geq 1$. Khi đó kết hợp với câu a, ta có:

$P = \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} + \dfrac{\sqrt{y^{2} - 1}}{y} + \dfrac{\sqrt{z^{2} - 1}}{z}$$\leq \dfrac{\dfrac{3x - 1}{2\sqrt{2}}}{x} + \dfrac{\dfrac{3y - 1}{2\sqrt{2}}}{y} + \dfrac{\dfrac{3z - 1}{2\sqrt{2}}}{z} = \dfrac{3x - 1}{2\sqrt{2}x} + \dfrac{3y - 1}{2\sqrt{2}y} + \dfrac{3z - 1}{2\sqrt{2}z}$

Giải chi tiết

a) Theo bất đẳng thức $AM - GM$ với số dương $\sqrt{2x - 2},\sqrt{x + 1}$, ta có:

$\sqrt{2\left( {x^{2} - 1} \right)} = \sqrt{2x - 2} \cdot \sqrt{x + 1} \leq \dfrac{2x - 2 + x + 1}{2} = \dfrac{3x - 1}{2},\forall x \geq 1.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left. \sqrt{2x - 2} = \sqrt{x + 1}\Leftrightarrow 2x - 2 = x + 1\Leftrightarrow x = 3 \right.$.
b) Do với $\forall x,y,z \geq 1$. Khi đó kết hợp với câu a, ta có:

$P = \dfrac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} + \dfrac{\sqrt{y^{2} - 1}}{y} + \dfrac{\sqrt{z^{2} - 1}}{z}$

$\leq \dfrac{\dfrac{3x - 1}{2\sqrt{2}}}{x} + \dfrac{\dfrac{3y - 1}{2\sqrt{2}}}{y} + \dfrac{\dfrac{3z - 1}{2\sqrt{2}}}{z} = \dfrac{3x - 1}{2\sqrt{2}x} + \dfrac{3y - 1}{2\sqrt{2}y} + \dfrac{3z - 1}{2\sqrt{2}z}$

$~ = 3 \cdot \dfrac{3}{2\sqrt{2}} - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = \dfrac{9}{2\sqrt{2}} - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\ \left( \text{*} \right)$

Từ giả thiết có $\left. \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{xyz}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{xy}} + \dfrac{1}{\sqrt{yz}} + \dfrac{1}{\sqrt{zx}} = 1 \right.$.
Theo bất đẳng thức $AM - GM$ thì:

$1 = \dfrac{1}{\sqrt{xy}} + \dfrac{1}{\sqrt{yz}} + \dfrac{1}{\sqrt{zx}}$

$\leq \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}$

$\left. \Leftrightarrow - \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leq - 1 \right.$

Từ $(*)$ ta tiếp tục có: $P \leq \dfrac{9}{2\sqrt{2}} - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \cdot 1 = \dfrac{8}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $x = y = z = 3$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link