a) Tìm tất cả các số có hai chữ số $\overline{ab}$ sao cho $\overline{ab} + \overline{ba}$ là số chính

Câu hỏi số 798807:

Vận dụng

a) Tìm tất cả các số có hai chữ số $\overline{ab}$ sao cho $\overline{ab} + \overline{ba}$ là số chính phương.

b) Cho hai đống sỏi, $A$ và $B$. Nếu chuyển 100 viên sỏi từ đống $A$ sang đống $B$ thì số sỏi ở đống $B$ gấp đôi số sỏi ở đống $A$. Còn nếu chuyển một số viên sỏi từ đống $B$ sang đống $A$ thì số sỏi ở đống $A$ gấp 6 lần số sỏi ở đống $B$. Hỏi đống $A$ có ít nhất bao nhiêu viên sỏi?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798807

Phương pháp giải

a) Đặt $A = \overline{ab} + \overline{ba} = 10a + b + 10b + a = 11\left( {a + b} \right)$.

Vì $\overline{ab}$ là số có hai chữ số nên $a \neq 0$. Ta thấy $1 \leq a + b \leq 18$.

b) Gọi số viên sỏi ở hai đống $A,B$ là $x,y$. Theo bài ta có:

Nếu chuyển 100 viên từ đống $A$ sang đống $B$ thì số sỏi ở $B$ gấp 2 lần số sỏi ở $A$, tức là $2\left( {x - 100} \right) = y + 100\ (1)$.

Nếu chuyển một số viên từ đống $B$ (giả sử là $a$) sang đống $A$ thì số sỏi ở $A$ gấp 6 lần số sỏi ở $B$, tức là $x + a = 6\left( {y - a} \right)$ (2).

Từ (1) và (2), có: $\left\{ \begin{array}{l} {2x - y = 300} \\ {6y - x = 7a} \end{array} \right.$

Giải chi tiết

a) Đặt $A = \overline{ab} + \overline{ba} = 10a + b + 10b + a = 11\left( {a + b} \right)$.

Vì $\overline{ab}$ là số có hai chữ số nên $a \neq 0$. Ta thấy $1 \leq a + b \leq 18$.
Giả sử $A$ là số chính phương, thì khi phân tích $A$ thành các thừa số nguyên tố thì số mũ các thừa số nguyên tố phải chẵn, tức là giả sử $A = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}}\ldots p_{i}^{a_{i}}$, với các $p_{1},p_{2},\ldots p_{i}$ là có số nguyên tố thì $a_{1},a_{2},\ldots,a_{i}$ đều là số chẵn.

Do đó, nếu $A$ không chia hết cho 11 thì số mũ của số nguyên 11 khi phân tích sẽ là 1, mẫu thuẫn.

Khi đó $\left. a + b:11\Rightarrow a + b = 11 \right.$. Hay ta có các cặp giá trị sau thoả mãn:

$\left( {a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;9} \right);\left( {3;8} \right);\left( {4;7} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right);\left( {7;4} \right);\left( {8;3} \right);\left( {9;2} \right)} \right\}$

Thử lại ta thấy thoả mãn. Vậy có số có hai chữ số $\overline{ab}$ cần tìm là:

$\overline{ab} \in \left\{ {29;38,47,56,65,74,83,92} \right\}$

b) Gọi số viên sỏi ở hai đống $A,B$ là $x,y$. Theo bài ta có:

Nếu chuyển 100 viên từ đống $A$ sang đống $B$ thì số sỏi ở $B$ gấp 2 lần số sỏi ở $A$, tức là $2\left( {x - 100} \right) = y + 100\ (1)$.

Nếu chuyển một số viên từ đống $B$ (giả sử là $a$) sang đống $A$ thì số sỏi ở $A$ gấp 6 lần số sỏi ở $B$, tức là $x + a = 6\left( {y - a} \right)$ (2).

Từ (1) và (2), có:

$\left\{ \begin{array}{l} {2x - y = 300} \\ {6y - x = 7a} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2x - y = 300} \\ {12y - 2x = 14a} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 6y - 7a = 6 \cdot \dfrac{14a + 300}{11} - 7a = \dfrac{7a + 1800}{11}} \\ {y = \dfrac{14a + 300}{11} = 27 + a + \dfrac{3\left( {a + 1} \right)}{11}} \end{array} \right. \right.$

Vì $y$ nguyên nên $\dfrac{3\left( {a + 1} \right)}{11}$ nguyên hay $a + 1:11$, do $\text{gcd}\left( {11,3} \right) = 1$.

Suy ra $a = 11k - 1,k$ là số nguyên dương. Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 7k + 163 \geq 7.1 + 163 = 170} \\ {y = 14k + 26} \end{array} \right.$.
Khi $k = 1$. Thử lại với $x = 170,y = 40$ thoả mãn.
Vậy số sỏi ít nhất của đống A là: 170

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link