a) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $a + b + c + \sqrt{abc} = 4$. Tính giá trị

Câu hỏi số 798813:

Vận dụng

a) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $a + b + c + \sqrt{abc} = 4$. Tính giá trị biểu thức $Q = \sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} + \sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} + \sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)} - \sqrt{abc}$.
b) Cho các số thực $a,b,c \geq 1$ thỏa mãn $a + b + c = 9$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798813

Phương pháp giải

a) Từ $\left. a + b + c + \sqrt{abc} = 4\Rightarrow 4 - b - c = a + \sqrt{abc} \right.$

$\left. ~\Rightarrow\sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2a + \sqrt{abc} \right.$

tương tự $\sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} = 2b + \sqrt{abc},\sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)} = 2c + \sqrt{abc}$

b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copxki dạng cộng mẫu ta có

$P = \dfrac{1^{2}}{a + b} + \dfrac{1^{2}}{b + c} + \dfrac{1^{2}}{c + a} \geq \dfrac{{(1 + 1 + 1)}^{2}}{\left( {a + b} \right) + \left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right)} = \dfrac{9}{2\left( {a + b + c} \right)} = \dfrac{1}{2}$

Giải chi tiết

a) Từ $\left. a + b + c + \sqrt{abc} = 4\Rightarrow 4 - b - c = a + \sqrt{abc} \right.$

Xét $a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right) = a\left( {16 - 4b - 4c + bc} \right) = a\left\lbrack {4\left( {4 - b - c} \right) + bc} \right\rbrack$

$~ = a\left\lbrack {4\left( {a + \sqrt{abc}} \right) + bc} \right\rbrack = 4a^{2} + 4a\sqrt{abc} + abc = {(2a + \sqrt{abc})}^{2}$

$\left. ~\Rightarrow\sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2a + \sqrt{abc} \right.$

tương tự $\sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} = 2b + \sqrt{abc},\sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)} = 2c + \sqrt{abc}$

Vậy $Q = 2\left( {a + b + c} \right) + 3\sqrt{abc} - \sqrt{abc} = 2\left( {a + b + c + \sqrt{abc}} \right) = 8$

b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copxki dạng cộng mẫu ta có

Dấu "=" khi $a = b = c = 3$.

Vậy GTNN của $P$ là $\dfrac{1}{2}$ khi $a = b = c = 3$
Không mất tính tổng quát giả sử: $1 \leq a \leq b \leq c$, mà $\left. a + b + c = 9\Rightarrow 3 \leq c \leq 7 \right.$
Ta có $\left. \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \geq 0\Leftrightarrow ab \geq a + b - 1 \right.$

$\dfrac{1}{a + c} + \dfrac{1}{b + c} = \dfrac{a + b + 2c}{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}$

$= \dfrac{9 + c}{ab + c\left( {a + b} \right) + c^{2}} \leq \dfrac{9 + c}{a + b - 1 + c\left( {a + b} \right) + c^{2}}$

$~ = \dfrac{9 + c}{9 - c - 1 + c\left( {9 - c} \right) + c^{2}} = \dfrac{9 + c}{8c + 8}$

$\left. \Rightarrow P \leq \dfrac{1}{9 - c} + \dfrac{9 + c}{8c + 8} \right.$

Ta đi chứng minh: $P = \dfrac{1}{9 - c} + \dfrac{9 + c}{8c + 8} \leq \dfrac{3}{4}$ (1) với mọi $3 \leq c \leq 7$
Thật vậy $\left. (1)\Leftrightarrow c^{2} - 8c + 7 \leq 0\Leftrightarrow\left( {c - 7} \right)\left( {c - 1} \right) \leq 0 \right.$ (Đúng), dấu "=" khi $c = 7$, $a = b = 1$
Vậy GTLN của P là $\dfrac{3}{4}$ khi $c = 7,a = b = 1$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link