a) Rút gọn biểu thức $A = \left( {\sqrt{x - 4} + 1} \right)\sqrt{x - 3 - 2\sqrt{x - 4}}$ với $x \geq 5$b) Cho

Câu hỏi số 799023:

Vận dụng

a) Rút gọn biểu thức $A = \left( {\sqrt{x - 4} + 1} \right)\sqrt{x - 3 - 2\sqrt{x - 4}}$ với $x \geq 5$
b) Cho ba số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a + b + c = 3$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{3a + bc} + \sqrt{3b + ca} + \sqrt{3c + ab}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799023

Phương pháp giải

a) Áp dụng $\sqrt{A^{2}} = |A|$

b) Vì $a + b + c = 3$ nên $\sqrt{3a + bc} = \sqrt{\left( {a + b + c} \right)a + bc} = \sqrt{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}$

Áp dụng BĐT AM-GM.

Giải chi tiết

a) Với $x \geq 5$

$A = \left( {\sqrt{x - 4} + 1} \right)\sqrt{x - 3 - 2\sqrt{x - 4}}$

$= \left( {\sqrt{x - 4} + 1} \right)\sqrt{x - 4 - 2\sqrt{x - 4} + 1}$

$~ = \left( {\sqrt{x - 4} + 1} \right)\sqrt{{(\sqrt{x - 4} - 1)}^{2}}$

$= \left( {\sqrt{x - 4} + 1} \right)\left( {\sqrt{x - 4} - 1} \right)$

$= x - 4 - 1 = x - 5$

b) Vì $a + b + c = 3$ nên $\sqrt{3a + bc} = \sqrt{\left( {a + b + c} \right)a + bc} = \sqrt{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\sqrt{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \leq \dfrac{a + b + a + c}{2} = \dfrac{2a + b + c}{2}$
Suy ra $\sqrt{3a + bc} \leq \dfrac{2a + b + c}{2}$ (1). Tương tự ta có

$\sqrt{3b + ac} \leq \dfrac{a + 2b + c}{2}$ (2)

$\sqrt{3c + ab} \leq \dfrac{a + b + 2c}{2}$ (3)

Cộng vế với vế các BĐT (1); (2); (3) ta có $P \leq \dfrac{4\left( {a + b + c} \right)}{2} = \dfrac{4.3}{2} = 6$
Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = 1$. Vậy GTLN của $P = 6$ khi $a = b = c = 1$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link