a) Cho hai số thực $x,y > 0$ thỏa mãn $xy \geq 1$. Chứng minh rằng $\left( {x + 2y + \dfrac{2}{x + 1}}

Câu hỏi số 799022:

Vận dụng

a) Cho hai số thực $x,y > 0$ thỏa mãn $xy \geq 1$.

Chứng minh rằng $\left( {x + 2y + \dfrac{2}{x + 1}} \right)\left( {y + 2x + \dfrac{2}{y + 1}} \right) \geq 16$.

b) Cho 5 đường tròn có cùng bán kính và sắp xếp để tạo thành 9 miền được kí hiệu là $A_{1},A_{2},\ldots,A_{9}$ (như hình vẽ). Sau đó, điền vào 9 miền trên các số được lấy từ $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ sao cho mỗi miền được điền bởi một số, hai miền khác nhau được điền bởi hai số khác nhau và tổng các số trong mỗi hình tròn đều bằng 14.

b₁) Tính tổng các số ở các miền $A_{2},A_{4},A_{6},A_{8}$.
b₂) Hỏi có bao nhiêu cách điền thỏa mãn điều kiện trên? Vì sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799022

Phương pháp giải

a) Ta có $x + 2y + \dfrac{2}{x + 1} = \left( {\dfrac{x + 1}{2} + \dfrac{2}{x + 1}} \right) + \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2}} \right) + \dfrac{3y}{2} - \dfrac{1}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

b₁) Gọi $a_{1},a_{2},\ldots,a_{9}$ lần lượt là các số được điền vào các miền $A_{1},A_{2},\ldots,A_{9}$ để thỏa mãn điều kiện.
Mỗi hình tròn có tổng là 14, suy ra năm hình tròn có tổng là $14 \cdot 5 = 70$.

b₂) Ta có $a_{1} + a_{2} = a_{8} + a_{9} = 14$, suy ra ta chỉ có hai cặp thỏa mãn là $\left( {9;5} \right)$ và $\left( {8;6} \right)$.

Giải chi tiết

$\left( {\dfrac{x + 1}{2} + \dfrac{2}{x + 1}} \right) + \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2}} \right) + \dfrac{3y}{2} - \dfrac{1}{2}$$~ \geq 2\sqrt{\dfrac{x + 1}{2} \cdot \dfrac{2}{x + 1}} + 2\sqrt{\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{y}{2}} + \dfrac{3y}{2} - \dfrac{1}{2}$

$~ \geq 2 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{3y}{2} - \dfrac{1}{2}$$~ = \dfrac{5}{2} + \dfrac{3y}{2}.$

Suy ra $x + 2y + \dfrac{2}{x + 1} \geq \dfrac{5}{2} + \dfrac{3y}{2}$.
Chứng minh tương tự ta cũng có: $y + 2x + \dfrac{2}{y + 1} \geq \dfrac{5}{2} + \dfrac{3x}{2}$.
Khi đó

$\left( {x + 2y + \dfrac{2}{x + 1}} \right)\left( {y + 2x + \dfrac{2}{y + 1}} \right)$

$~ \geq \left( {\dfrac{5}{2} + \dfrac{3y}{2}} \right)\left( {\dfrac{5}{2} + \dfrac{3x}{2}} \right)$$~ = \dfrac{25}{4} + \dfrac{15}{4}\left( {x + y} \right) + \dfrac{9xy}{4}$

$~ \geq \dfrac{25}{4} + \dfrac{15}{4} \cdot 2\sqrt{xy} + \dfrac{9xy}{4}$

$~ \geq \dfrac{25}{4} + \dfrac{15}{4} \cdot 2 + \dfrac{9}{4} = 16.$

Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu "$=$" xảy ra khi $x = y = 1$.

$\left( {a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9}} \right) + \left( {a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8}} \right) = 70$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9} \right) + \left( {a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8}} \right) = 70 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} = 25 \right.$

b₂) Ta có $a_{1} + a_{2} = a_{8} + a_{9} = 14$, suy ra ta chỉ có hai cặp thỏa mãn là $\left( {9;5} \right)$ và $\left( {8;6} \right)$.

$\left. \Rightarrow a_{2} + a_{8} \in \left\{ {11;13;15;17} \right\}. \right.$

TH1: $a_{2} + a_{8} = 11$

$\left. \Rightarrow a_{4} + a_{6} = 25 - 11 = 14. \right.$

Mà các cặp số có tổng bằng 14 là $\left( {5;9} \right)$ và $\left( {6;8} \right)$ (mâu thuẫn).

TH2: $a_{2} + a_{8} = 13$

$\left. \Rightarrow a_{4} + a_{6} = 25 - 13 = 12 \right.$

Mà các cặp số có tổng bằng 12 là $\left( {3;9} \right),\left( {4;8} \right)$ và $\left( {5;7} \right)$ (mâu thuẫn).

TH3: $a_{2} + a_{8} = 15$

$\left. \Rightarrow a_{4} + a_{6} = 25 - 15 = 10 \right.$

Cặp số có tổng bằng 10 thỏa mãn là $\left( {7;3} \right)$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a_{4} = 7;a_{6} = 3$.
Khi đó: $a_{1} = 8;a_{2} = 6;a_{3} = 1;a_{4} = 7;a_{5} = 4;a_{6} = 3;a_{7} = 2;a_{8} = 9;a_{9} = 5$

Và lấy đối xứng lại ta được cách xếp thứ 2 như bên dưới:

TH4: $a_{2} + a_{8} = 17$

$\left. \Rightarrow a_{4} + a_{6} = 25 - 17 = 8. \right.$

Mà các cặp số có tổng bằng 8 là $\left( {1;7} \right)$ và $\left( {2;6} \right)$. Khi đó tổng các số trong một hình tròn lớn hơn 14 , điều này mâu thuẫn giả thiết (quan sát hình vẽ).

Vậy có 2 cách điền các số thoả mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link