1) Cho phương trình $\sqrt{3x^{2} - 2x + m - 4} = \sqrt{6x}$ (1) với $m$ là tham số.a) Giải phương trình

Câu hỏi số 799024:

Vận dụng

1) Cho phương trình $\sqrt{3x^{2} - 2x + m - 4} = \sqrt{6x}$ (1) với $m$ là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi $m = - 7$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} = x\left( {2y + 1} \right) - y} \\ {\sqrt{2x + y} = x + 2y} \end{array} \right.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799024

Phương pháp giải

a) ĐKXĐ $\left\{ \begin{array}{l} {x \geq 0} \\ {3x^{2} - 2x + m - 4 \geq 0} \end{array} \right.$

Thay $m = - 7$ vào phương trình ta được $\sqrt{3x^{2} - 2x - 7 - 4} = \sqrt{6x}$

Bình phương hai vế.

b) Phương trình đã cho tương đương với $\left. 3x^{2} - 2x + m - 4 = 6x\Leftrightarrow 3x^{2} - 8x + m - 4 = 0 \right.$ (2)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm không âm phân biệt; điều kiện là

$\left\{ \begin{array}{l} {> 0} \\ {S = x_{1} + x_{2} \geq 0} \\ {P = x_{1} \cdot x_{2} \geq 0} \end{array} \right.$

2) ĐKХĐ $\left\{ \begin{array}{l} {2x + y \geq 0} \\ {x + 2y \geq 0} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} = x\left( {2y + 1} \right) - y} \\ {\sqrt{2x + y} = x + 2y} \end{array} \right.\,\,\,\begin{matrix} {(1)} \\ {(2)} \end{matrix}$

Xét phương trình (1) $\left. x^{2} + y^{2} = x\left( {2y + 1} \right) - y\Leftrightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} - x + y = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(x - y)}^{2} - \left( {x - y} \right) = 0\Leftrightarrow\left( {x - y} \right)\left( {x - y - 1} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = y} \\ {x = y + 1} \end{array} \right. \right.$

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ $\left\{ \begin{array}{l} {x \geq 0} \\ {3x^{2} - 2x + m - 4 \geq 0} \end{array} \right.$

Thay $m = - 7$ vào phương trình ta được $\sqrt{3x^{2} - 2x - 7 - 4} = \sqrt{6x}$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{3x^{2} - 2x - 11} = \sqrt{6x} \right.$

$\left. \Rightarrow 3x^{2} - 2x - 11 = 6x\Leftrightarrow 3x^{2} - 8x - 11 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = - 1\,\,(l)} \\ {x = \dfrac{11}{3}} \end{array} \right. \right.$

Vậy khi $m = - 7$ thì phương trình có nghiệm $x = \dfrac{11}{3}$

$\left\{ \begin{array}{l} {> 0} \\ {S = x_{1} + x_{2} \geq 0} \\ {P = x_{1} \cdot x_{2} \geq 0} \end{array} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {{( - 4)}^{2} - 3\left( {m - 4} \right) \geq 0} \\ {\dfrac{8}{3} > 0} \\ {\dfrac{m - 4}{3} \geq 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4 \leq m \leq \dfrac{28}{3} \right.$

2) ĐKХĐ $\left\{ \begin{array}{l} {2x + y \geq 0} \\ {x + 2y \geq 0} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} = x\left( {2y + 1} \right) - y} \\ {\sqrt{2x + y} = x + 2y} \end{array} \right.\,\,\,\begin{matrix} {(1)} \\ {(2)} \end{matrix}$

Xét phương trình (1) $\left. x^{2} + y^{2} = x\left( {2y + 1} \right) - y\Leftrightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} - x + y = 0 \right.$

*TH1: $x = y$, thay vào phương trình (2) ta được

$\left. \sqrt{3y} = 3y\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {y \geq 0} \\ {\sqrt{3y}\left( {\sqrt{3y} - 1} \right) = 0} \end{array} \right. \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {y \geq 0} \\ \left\lbrack \begin{array}{ll} {y = 0} & \left( {TM} \right) \\ {y = \dfrac{1}{3}} & \left( {TM} \right) \end{array} \right. \end{array} \right. \right.$
*TH2: $x = y + 1$, thay vào phương trình (2) ta được.

$\left. \sqrt{2\left( {y + 1} \right) + y} = 1 + 3y\Leftrightarrow\sqrt{3y + 2} = 1 + 3y \right.$

ĐK: $\left. 3y + 1 \geq 0\Leftrightarrow y \geq \dfrac{- 1}{3} \right.$
Bình phương 2 vế phương trình (3) được $\left. 3y + 2 = {(1 + 3y)}^{2}\Leftrightarrow 3y + 2 = 1 + 6y + 9y^{2}\Leftrightarrow 9y^{2} + 3y - 1 = 0 \right.$
Có $\text{Δ} = 9 + 36 = 45 > 0$, suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt

$y_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{45}}{18} = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{6}$ (Thoả mãn) và $y_{2} = \dfrac{- 3 - \sqrt{45}}{18} = \dfrac{- 1 - \sqrt{5}}{6} < \dfrac{- 1}{3}$ (không thoả mãn) Với $y = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{6}$ ta có $x = 1 + \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{6} = \dfrac{5 + \sqrt{5}}{6}$

Tóm lại, hệ đã cho có 3 nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {0;0} \right);\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right);\left( {\dfrac{5 + \sqrt{5}}{6};\dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{6}} \right)$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link