Một cưa hầm lò khai thác khoáng sản có dạng parabol $y = ax^{2}(a \neq 0)$ trong mặt phẳng tọa độ

Câu hỏi số 802474:

Vận dụng

Một cưa hầm lò khai thác khoáng sản có dạng parabol $y = ax^{2}(a \neq 0)$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Biết rằng O x song song với $MN(M,N$ là hai chân của cưa hầm lò và nằm trên mặt đất; giả sử mặt đất bằng phẳng) và x, y được tính theo đơn vị mét. Khoảng cách giữa hai chân cưa hầm lò $MN = 4~\text{m}$, khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng MN bằng $3,2~\text{m}$. Người ta thường gia cố cho cửa hầm lò bằng một khung thép hình chữ nhật ABCD sao cho hai đinh $A$ và B của khung thép chạm đất, hai đinh C, D của khung thép chạm vào cửa hầm lò (được mô tả như hình vẽ). Giá trị lớn nhất của chu vi hình chữ nhật ABCD tạo bởi khung thép trên bằng bao nhiêu mét?

A diagram of a function

AI-generated content may be incorrect.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:802474

Phương pháp giải

Vì M nằm trên parabol nên xác định được $a = - 0,8$

Suy ra parabol $y = - 0,8x^{2}$.

Gọi $C\left( {- x_{C}; - 0,8x_{C}^{2}} \right)$ suy ra $D\left( {x_{C}; - 0,8x_{C}^{2}} \right)$; $B\left( {- x_{C}; - 3,2} \right);A\left( {x_{C}; - 3,2} \right)$

$CD = AB = 2x_{C}$

$CB = DA = 3,2 - 0,8x_{C}^{2}$

Chu vi hình chữ nhật ABCD là: $(CB + CD) \cdot 2 = \left( {3,2 - 0,8x_{C}^{2} + 2x_{C}} \right)$

Phân tích và tìm GTLN.

Giải chi tiết

Xét parabol $y = ax^{2}(a < 0)$; $M( - 2; - 3,2),N(2; - 3,2)$

Vì M nằm trên parabol nên $a{( - 2)}^{2} = - 3,2$ suy ra $a = - 0,8$

Suy ra parabol $y = - 0,8x^{2}$.

Gọi $C\left( {- x_{C}; - 0,8x_{C}^{2}} \right)$ suy ra $D\left( {x_{C}; - 0,8x_{C}^{2}} \right)$; $B\left( {- x_{C}; - 3,2} \right);A\left( {x_{C}; - 3,2} \right)$

$CD = AB = 2x_{C}$

$CB = DA = 3,2 - 0,8x_{C}^{2}$

Chu vi hình chữ nhật ABCD là: $(CB + CD) \cdot 2 = \left( {3,2 - 0,8x_{C}^{2} + 2x_{C}} \right)$

$= 6,4 - 1,6x_{C}^{2} + 4x_{C} = - \left( {1,6x_{C}^{2} - 4x_{C} - 6,4} \right)$

$= - \left\lbrack {\left( {\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \cdot x_{C}} \right)^{2} - 2 \cdot \dfrac{2\sqrt{10}}{5}x_{C} \cdot \dfrac{5}{\sqrt{10}} + \left( \dfrac{5}{\sqrt{10}} \right)^{2}} \right\rbrack + \left( \dfrac{5}{\sqrt{10}} \right)^{2} + 6,4$

$= - \left( {\dfrac{2\sqrt{10}}{5}x_{C} - \dfrac{\sqrt{10}}{2}} \right)^{2} + 8,9 \leq 8,9$

Đáp án cần điền là: 8,9

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link