Cho đường tròn $(O;5~\text{cm})$ và điểm A ở ngoài đường tròn. Dựng hai tiếp tuyến $AB,{\mkern
Cho đường tròn $(O;5~\text{cm})$ và điểm A ở ngoài đường tròn. Dựng hai tiếp tuyến $AB,{\mkern 1mu} AC$ với đường tròn $(O)$($B,{\mkern 1mu} C$ là các tiếp điểm). Gọi $M,{\mkern 1mu} I$ lần lượt là trung điểm của AB và OA. Gọi G là trọng tâm của tam giác $ACM,G'$ là giao điểm của CM và OA. Khi tam giác $IGG'$ cân tại I, tìm độ dài BC (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Gọi K là trung điểm của AC, E là trung điểm của AM
Theo định lý Thales đảo chứng minh được $GG'\text{//}ME$(1)
$\Delta AOB$ có MI là đường trung bình của tam giác suy ra $MI\text{//}OB$
Suy ra $MI\bot AB$ hay $MI\bot ME$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $MI\bot GG'$
Gọi độ dài $BC = x(cm) = MC(x > 0)$
Suy ra $G'C = \dfrac{2x}{3}$
$\Delta G'HC$vuông tại H ta có: $HG' = \sqrt{G'C^{2} - CH^{2}}$
Suy ra $AH = 3 \cdot G'H = 3 \cdot \dfrac{x\sqrt{7}}{6} = \dfrac{x\sqrt{7}}{2}(~\text{cm})$
$\Delta OBH \backsim DBAH(~\text{g} \cdot ~\text{g})$ suy ra $\dfrac{OH}{BH} = \dfrac{BH}{AH}$ hay$BH^{2} = OH \cdot AH$
$\left( \dfrac{x}{2} \right)^{2} = \sqrt{OB^{2} - BH^{2}} \cdot \dfrac{x\sqrt{7}}{2}$
Gọi K là trung điểm của AC, E là trung điểm của AM
Ta có $AB = AC$ nên $\Delta ABC$ cân tại A suy ra CM cắt AH tại G’
Do đó G’ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\dfrac{CG'}{CM} = \dfrac{2}{3}$
G là trọng tâm của $\Delta ACM$ nên $\dfrac{CG}{CE} = \dfrac{2}{3}$
Suy ra $\dfrac{CG'}{CM} = \dfrac{CG}{CE} = \dfrac{2}{3}$
Theo định lý Thales đảo $GG'\text{//}ME$(1)
Mà AB là tiếp tuyến của đường tròn nên $AB\bot OB$
$\Delta AOB$ có MI là đường trung bình của tam giác suy ra $MI\text{//}OB$
Suy ra $MI\bot AB$ hay $MI\bot ME$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $MI\bot GG'$
$\Delta ABC$ có MK là đường trung bình của $\Delta ABC$ suy ra $MK\text{//}BC$
Ta có $AH\bot BC$ suy ra $AH\bot MK$ hay $G'I\bot MG$
Ta có I là trực tâm của $\Delta MG'G$ suy ra $GI\bot G'M$ suy ra $GI\bot CM$
Khi $\Delta IGG'$ cân tại I thì $\Delta MG'G$ cân tại M suy ra $MG'G = MG$
Gọi độ dài $BC = x(cm) = MC(x > 0)$
Mà $MC = \dfrac{3}{2}G'C$ (vì $G'$ là trọng tâm $\Delta ABC$)
Suy ra $G'C = \dfrac{2x}{3}$
$\Delta G'HC$vuông tại H ta có: $HG' = \sqrt{G'C^{2} - CH^{2}} = \sqrt{\left( \dfrac{2x}{3} \right)^{2} - \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2}} = \dfrac{x\sqrt{7}}{2}$
Suy ra $AH = 3 \cdot G'H = 3 \cdot \dfrac{x\sqrt{7}}{6} = \dfrac{x\sqrt{7}}{2}(~\text{cm})$
$\Delta OBH \backsim DBAH(~\text{g} \cdot ~\text{g})$ suy ra $\dfrac{OH}{BH} = \dfrac{BH}{AH}$ hay$BH^{2} = OH \cdot AH$
$\left( \dfrac{x}{2} \right)^{2} = \sqrt{OB^{2} - BH^{2}} \cdot \dfrac{x\sqrt{7}}{2}$
$\dfrac{x^{2}}{4} = \sqrt{25 - \dfrac{x^{2}}{4}} \cdot \dfrac{x\sqrt{7}}{2}$
$\dfrac{x}{4} = \sqrt{25 - \dfrac{x^{2}}{4}} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{2}$
$\dfrac{x^{2}}{16} = \left( {25 - \dfrac{x^{2}}{4}} \right) \cdot \dfrac{7}{4}$
$\dfrac{x^{2}}{16} = \dfrac{175}{4} - \dfrac{7x^{2}}{16}$
$\dfrac{8x^{2}}{16} = \dfrac{175}{4}$
$\dfrac{x^{2}}{2} = \dfrac{175}{4}$
$x^{2} = \dfrac{175}{2}$
$x = \dfrac{5\sqrt{14}}{2} \approx 9,35(cm$)
Đáp án cần điền là: 9,35
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
