Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), nội tiếp đường tròn (O; R). Các tiếp tuyến tại B và C cắt
Cho tam giác ABC nhọn (AB > AC), nội tiếp đường tròn (O; R). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của OM và BC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt (O) tại E và F (E thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh$MO\bot BC$ và $ME \cdot MF = MH \cdot MO$
Quảng cáo
Chứng minh OM là trung trực của BC. Suy ra $MO\bot BC$ tại H.
Chứng minh $\Delta MBH \sim \Delta MOB\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{MB}{MO} = \dfrac{MH}{MB}$ hay $MB^{2} = MH.MO$ (1)
Chứng minh $\Delta MBE \sim \Delta MFB\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{MB}{MF} = \dfrac{ME}{MB}$ hay $MB^{2} = ME.MF$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $MH.MO = ME.MF$ (đpcm)
Ta có $MB = MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$OB = OC$ (cùng bằng bán kính của (O))
Suy ra OM là trung trực của BC. Suy ra $MO\bot BC$ tại H.
Do MB là tiếp tuyến nên $MB\bot OB$ suy ra $\angle MBO = \angle MHB = 90^{0}$
Kết hợp với $\angle BMO$ chung suy ra $\Delta MBH \sim \Delta MOB\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{MB}{MO} = \dfrac{MH}{MB}$ hay $MB^{2} = MH.MO$ (1)
Do $OB = OE$ nên $\Delta OBE$ cân tại O suy ra $\angle BOE = 180^{0} - 2\angle OBE$
Suy ra $\angle BFE = \dfrac{1}{2}\angle BOE = \dfrac{1}{2}\left( {180^{0} - 2\angle OBE} \right) = 90^{0} - \angle OBE = \angle MBE$
Xét $\Delta MBE$ và $\Delta MFB$ có $\angle FMB$ chung và $\angle MBE = \angle BFM$ (cmt)
Suy ra $\Delta MBE \sim \Delta MFB\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{MB}{MF} = \dfrac{ME}{MB}$ hay $MB^{2} = ME.MF$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $MH.MO = ME.MF$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
