Chọn ngẫu nhiên ba số a, b, c trong tập hợp \(S = \left\{ {1;2;3;...;20} \right\}\). Biết xác

Câu hỏi số 803879:

Vận dụng cao

Chọn ngẫu nhiên ba số a, b, c trong tập hợp \(S = \left\{ {1;2;3;...;20} \right\}\). Biết xác suất để ba số tìm được thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) chia hết cho 3 là \(\dfrac{m}{n}\), với m, n là các số nguyên dương, phân số \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. S = m + n bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 127

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:803879

Phương pháp giải

Chứng minh: Bình phương của một số tự nhiên, hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\).

Giải chi tiết

TH1: \(a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {a^2}\,\, \vdots \,\,3\).

TH2: a chia 3 dư 1 \( \Rightarrow a = 3k + 1 \Rightarrow {a^2} = {\left( {3k + 1} \right)^2} = 9{k^2} + 6k + 1\) chia 3 dư 1.

TH3: a chia 3 dư 2 \( \Rightarrow a = 3k + 2 \Rightarrow {a^2} = {\left( {3k + 2} \right)^2} = 9{k^2} + 12k + 4\) chia 3 dư 1.

=> Bình phương của một số tự nhiên, hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.

+) Tập các số trong S mà có bình phương chia cho hết 3 là \({A_0} = \left\{ {3;6;9;12;15;18} \right\}\)

+) Tập các số trong S mà có bình phương chia cho 3 dư 1 là \({A_1} = S\backslash {A_0}\).

Để \({a^2} + {b^2} + {c^2}\,\, \vdots \,\,3\) thì hoặc cả ba số \(a,b,c \in {A_0}\) hoặc cả ba số \(a,b,c \in {A_1}\).

Số phần tử của không gian mẫu là: \({n_\Omega } = C_{20}^3\).

Số phần tử của biến cố là: \({n_A} = C_6^3 + C_{14}^3\,\,\).

\( \Rightarrow {P_A} = \dfrac{{C_6^3 + C_{14}^3}}{{C_{20}^3}} = \dfrac{{32}}{{95}}\,\, \Rightarrow S = m + n = 32 + 95 = 127\).

Đáp án cần điền là: 127

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.