Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $M$ vẽ hai tiếp

Câu hỏi số 809454:

Vận dụng

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $M$ vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ của đường tròn $(O)$ ($A,B$ là hai tiếp điểm). Gọi $I$ là giao điểm của $OM$ và $AB$. Từ $B$ vẽ đường kính $BC$ của $(O)$, đường thẳng $MC$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $C$).
a) Chứng minh bốn điểm $A,B,M,O$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng $OM\bot AB$ tại $I$.
c) Chứng minh $OM~/~/AC$
d) Khi $AM = BC$, hãy tính theo $R$ diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,OA$ và cung nhỏ $CA$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:809454

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta AOM$ vuông tại A và $\Delta BOM$ vuông tại B.
Suy ra 4 điểm $A,B,M,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính OM.

Tâm đường tròn là trung điểm của OM.

b) Chứng minh $OM$ là đường trung trực của $AB$ nên $OM\bot AB$ tại $I$.

c) Chứng minh $\angle BCA = \angle BOM$, mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên $OM//CA$

d) Tính $\angle COA$, từ đó tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,OA$ và cung nhỏ $CA$ là: $S = \dfrac{\pi R^{2}n}{360}.$

Giải chi tiết

a) Vì $AM$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ nên $AM\bot OA$
Suy ra $\Delta AOM$ vuông tại A hay $\Delta AOM$ nội tiếp đường tròn đường kính OM
Tương tự ta có $\Delta BOM$ nội tiếp đường tròn đường kính OM
Vậy 4 điểm $A,B,M,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính OM.

Tâm đường tròn là trung điểm của OM.

b) Xét $(O)$ có: $MA,MB$ là tiếp tuyến tại $A,B$ nên $MA = MB$ (tính chất).
Suy ra M thuộc đường trung trực của $AB$.
Mà $OA = OB = R$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $AB$
Do đó $OM$ là đường trung trực của $AB$ nên $OM\bot AB$ tại $I$.

c) Xét $(O)$ có: $MA,MB$ là tiếp tuyến tại $A,B$ cắt nhau tại $M$ nên OM là tia phân giác của $\angle AOB$ suy ra $\angle BOM = \angle MOA = \dfrac{\angle AOB}{2}$
Mà $\angle AOB$ là góc ở tâm chắn cung AB nên $\angle AOB =$sđ cung AB suy ra $\angle BOM = \dfrac{sd\, cung\, AB}{2}$ (1)
Lại có $\angle BCA$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$ suy ra $\angle BCA = \dfrac{sd\, cung\, AB}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\angle BCA = \angle BOM$, mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên $OM~/~/AC$

d) Vì $AM = BC$ nên $AM = 2R$

Xét $\Delta AOM$ vuông tại $A$, có: $\tan\angle AOM = \dfrac{AM}{OA} = \dfrac{2R}{R} = 2$, suy ra $\angle AOM \approx 63^{0}26'$.
Do $MA,MB$ là tiếp tuyến tại $A,B$ của $(O)$ nên $OM$ là tia phân giác của $\angle AOB$
Suy ra $\angle AOB = 2\angle AOM = 2.63^{0}26' = 126^{0}52'$.
Do đó $\angle COA = 180^{0} - \angle AOB = 180^{0} - 126^{0}52' \approx 53^{0}$
Mà $\angle COA$ là góc ở tâm chắn cung CA của $(O)$ nên sđ cung CA$= 53^{0}$.
Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,OA$ và cung nhỏ $CA$ là: $S = \dfrac{\pi R^{2}53}{360}$ (đvdt)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link