Xét các mệnh đề sau, với $C$ là hằng số:(I) ${\int{\tan x\,\text{d}x}} = - \ln\left( {\cos x} \right) +

Câu hỏi số 816471:

Vận dụng

Xét các mệnh đề sau, với $C$ là hằng số:

(I) ${\int{\tan x\,\text{d}x}} = - \ln\left( {\cos x} \right) + C$.

(II) ${\int{e^{3\cos x}\sin x\,\text{d}x}} = - \dfrac{1}{3}e^{3\cos x} + C$.

(III)${\int\dfrac{\cos x + \sin x}{\sqrt{\sin x - \cos x}}}\,\text{d}x = 2\sqrt{\sin x - \cos x} + C$.

Số mệnh đề đúng là:

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:816471

Phương pháp giải

1. Đối với mỗi mệnh đề, tính đạo hàm của hàm số ở về phải.

2. So sánh kết quả đạo hàm với hàm số dưới dấu tích phân ở về trái.

3. Nếu chúng bằng nhau, mệnh đề đó đúng.

Giải chi tiết

Xét (I): Ta có ${\int{\tan x\, dx}} = {\int{\dfrac{\sin x}{\cos x}dx}}$. Đặt $\left. t = \cos x\Rightarrow dt = - \sin xdx \right.$.

Khi đó ${\int{\dfrac{\sin x}{\cos x}dx}} = - {\int\dfrac{dt}{t}} = - \ln|t| + C = - \ln\left| {\cos x} \right| + C$. Do đó (I) đúng.

Xét (II): Đặt $\left. t = 3\cos x\Rightarrow dt = - 3\sin xdx\Rightarrow\sin xdx = - \dfrac{1}{3}dt \right.$.

Khi đó ${\int{e^{3\cos x}\sin x\, dx}} = - \dfrac{1}{3}{\int e^{t}}dt = - \dfrac{1}{3}e^{t} + C = - \dfrac{1}{3}e^{3\cos x} + C$. Do đó (II) đúng.

Xét (III): Đặt $\left. t = \sqrt{\sin x - \cos x}\Rightarrow t^{2} = \sin x - \cos x\Rightarrow 2tdt = \left( {\cos x + \sin x} \right)dx \right.$.

Khi đó ${\int{\dfrac{2tdt}{t} = 2{\int{dt}}}} = 2t + C = 2\sqrt{\sin x - \cos x} + C$. Do đó (III) đúng.

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.