Tìm số giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \sqrt{3}\text{sin}x - \text{cos}x + 2m +

Câu hỏi số 817931:

Vận dụng

Tìm số giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \sqrt{3}\text{sin}x - \text{cos}x + 2m + 2025$ nhận giá trị không âm trên tập xác định của nó.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:817931

Phương pháp giải

Biến đổi $\sqrt{3}\text{sin}x - \text{cos}x = 2\text{sin}\left( {x - \dfrac{\pi}{6}} \right)$ kết hợp $\sin\left( {x - \dfrac{\pi}{6}} \right) \in \left\lbrack {- 1;1} \right\rbrack$ và tìm GTLN, GTNN

Đề hàm số không nhận giá trị âm thì $\min y \geq 0$ từ đó tìm m.

Giải chi tiết

ТХĐ: $D = {\mathbb{R}}$.

Ta có: $f(x) = 2\left( {\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{sin}x - \dfrac{1}{2}\text{cos}x} \right) + 2m + 2025$

$= 2\left( {\text{sin}x \cdot \text{cos}\dfrac{\pi}{6} - \text{cos}x \cdot \text{sin}\dfrac{\pi}{6}} \right) + 2m + 2025 = 2\text{sin}\left( {x - \dfrac{\pi}{6}} \right) + 2m + 2025$.

$\forall x \in {\mathbb{R}}$, ta có $\left. - 1 \leq \text{sin}\left( {x - \dfrac{\pi}{6}} \right) \leq 1\Leftrightarrow - 2 \leq 2\text{sin}\left( {x - \dfrac{\pi}{6}} \right) \leq 2 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 2 + 2m + 2025 \leq 2\text{sin}\left( {x - \dfrac{\pi}{6}} \right) + 2m + 2025 \leq 2 + 2m + 2025 \right.$.

$\left. \Leftrightarrow 2m + 2023 \leq 2\text{sin}\left( {x - \dfrac{\pi}{6}} \right) + 2m + 2025 \leq 2m + 2027 \right.$

Hàm số $f(x) = \sqrt{3}\text{sin}x - \text{cos}x + 2m + 2025$ nhận giá trị không âm trên tập xác định của nó

$\left. \Leftrightarrow 2m + 2023 \geq 0\Leftrightarrow m \geq - \dfrac{2023}{2} = - 1011,5 \right.$.

Mà $m$ nguyên âm nên $m \in \left\{ {- 1011; - 1010;\ldots; - 1} \right\}$

Đáp án cần điền là: 1011

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.