Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng $a_{1}$ và có diện tích $\text{S}_{1}$.

Câu hỏi số 820390:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng $a_{1}$ và có diện tích $\text{S}_{1}$. Nối 4 trung điểm $\text{A}_{1},\text{B}_{1},\text{C}_{1},\text{D}_{1}$ theo thứ tự của 4 cạnh $\text{AB},\text{BC},\text{CD},\text{DA}$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $\text{S}_{2}$. Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$ có diện tích $S_{3}$, ...và cứ tiếp tục làm như thế. Giả sử quá trình trên kéo dài vô hạn. Tính tổng diện tích các hình vuông được tạo thành nếu $a_{1} = 4cm$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:820390

Phương pháp giải

Đưa bài toán về cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $AD$ và công bội $q = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, còn diện tích các hình vuông lập thành 1 cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $S_{1}$ và công bội $q' = \dfrac{1}{2}$.

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn: $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q}$

Giải chi tiết

Ta có: $A_{1}D_{1} = \sqrt{2} \cdot AD_{1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}AD,C_{2}D_{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}A_{1}D_{1} = \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^{2}AD,\ldots$

Khi đó: $S_{1} = AD^{2},S_{2} = A_{1}D_{1}~^{2} = \dfrac{1}{2}AD^{2},S_{3} = C_{2}D_{2}~^{2} = \dfrac{1}{2}A_{1}D_{1}~^{2} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}AD^{2},\ldots$

Cứ như vậy ta thấy cạnh của các hình vuông lập thành 1 cấp số nhân với số hạng đầu là $AD$ và công bội $q = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, còn diện tích các hình vuông lập thành 1 cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $S_{1}$ và công bội $q' = \dfrac{1}{2}$.

Do đó tổng diện tích các hình vuông sẽ là: $S = S_{1}.\dfrac{1}{1 - q'} = S_{1}.\dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}} = 2S_{1}$.

Khi $\left. a_{1} = 4\Rightarrow S_{1} = 16\text{cm}^{2}\Rightarrow S = 32\text{cm}^{2} \right.$.

Đáp án cần điền là: 32

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.