Bạn An có một tấm kính thủy tinh hình vuông, cạnh bằng $4dm$, An muốn cắt

Câu hỏi số 823029:

Vận dụng

Bạn An có một tấm kính thủy tinh hình vuông, cạnh bằng $4dm$, An muốn cắt ở bốn góc bốn tứ giác (được tô đậm như trong hình), sau đó gập lại để tạo thành một cái bể cá có dạng hình chóp cụt đều với đáy là hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $1dm$ và miệng bể là một hình vuông có cạnh bằng $x\left( {dm} \right)$. Hỏi $x$ bằng bao nhiêu decimet thì bể cá có thể tích lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:823029

Phương pháp giải

Tính độ dài HK, IK từ đó tính OO’ theo x

Tính thể tích $V = \dfrac{1}{3}.OO'.\left( {S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1}.S_{2}}} \right)$ theo x từ đó khảo sát tìm GTLN

Giải chi tiết

Tấm kính thủy tinh hình vuông có cạnh là 4 dm

Khi đó chiều cao mặt bên của hình chóp cụt đều là: $HK = \dfrac{4 - 1}{2} = \dfrac{3}{2}$

Suy ra chiều cao của của hình chóp cụt đều là: $OO' = HI = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2} - \left( \dfrac{x - 1}{2} \right)^{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{9 - {(x - 1)}^{2}}$

Nên thể tích của hình chóp cụt đều là $V = \dfrac{1}{6}\sqrt{9 - {(x - 1)}^{2}}.\left( {1 + x + x^{2}} \right) \cdot$.

$\left. \Rightarrow V = \dfrac{1}{6}\sqrt{- x^{2} + 2x + 8} \cdot \left( {1 + x + x^{2}} \right),1 < x < 4. \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow V = \dfrac{1}{6}\sqrt{- x^{2} + 2x + 8} \cdot \left( {1 + x + x^{2}} \right) \right. \\ \left. \Rightarrow V' = \dfrac{1}{6}.\dfrac{\left( {- x + 1} \right).\left( {1 + x + x^{2}} \right)}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 8}} + \dfrac{1}{6}\sqrt{- x^{2} + 2x + 8}.\left( {2x + 1} \right) \right. \\ {= \dfrac{1}{6}.\dfrac{\left( {- x + 1} \right).\left( {1 + x + x^{2}} \right) + \left( {2x + 1} \right)\left( {- x^{2} + 2x + 8} \right)}{\sqrt{- x^{2} + 2x + 8}}} \\ {= \dfrac{- 3x^{3} + 3x^{2} + 18x + 9}{6\sqrt{- x^{2} + 2x + 8}}} \end{array}$

$\left. \Rightarrow V' = 0\Leftrightarrow \right.$$x = 3,18$ (với điều kiện $1 < x < 4$)

Vậy $\left. V_{\max}\Leftrightarrow x = 3,18(\text{dm}) \right.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.