Cho phương trình $m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) - {x^2} + 2x = 0$ (m là tham

Câu hỏi số 824493:

Vận dụng

Cho phương trình $m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) - {x^2} + 2x = 0$ (m là tham số). Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình trên có nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;1 + 2\sqrt 2 } \right]$ là đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Tính giá trị biểu thức $T = 2b - a$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:824493

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ $t = \sqrt{x^2 - 2x + 2}$, tìm điều kiện của $t$ dựa vào điều kiện của $x \in \left[ 0; 1 + 2\sqrt{2} \right]$.

Rút $x^2 - 2x$ theo $t$ và thay vào phương trình ban đầu.

Cô lập tham số $m$, đưa phương trình về dạng $m = f(t)$.

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(t)$ trên tập giá trị của $t$ vừa tìm được, từ đó suy ra điều kiện của $m$ để phương trình có nghiệm.

Xác định các giá trị $a, b$ và tính $T$.

Giải chi tiết

Đặt $t = \sqrt{x^2 - 2x + 2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 1}$.

Với $x \in \left[ 0; 1 + 2\sqrt{2} \right]$, ta có $x - 1 \in \left[ -1; 2\sqrt{2} \right]$.

Suy ra $0 \le (x - 1)^2 \le 8$, do đó $1 \le (x - 1)^2 + 1 \le 9$.

Suy ra $1 \le \sqrt{(x - 1)^2 + 1} \le 3$. Vậy $t \in [1; 3]$.

Từ cách đặt, ta có $t^2 = x^2 - 2x + 2 \Rightarrow x^2 - 2x = t^2 - 2$.

Thay vào phương trình ban đầu, ta được:

$m(t + 1) - (t^2 - 2) = 0$

$\Leftrightarrow m(t + 1) = t^2 - 2$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{t^2 - 2}{t + 1}$ (do $t \in [1; 3]$ nên $t + 1 \ne 0$).

Xét hàm số $f(t) = \dfrac{t^2 - 2}{t + 1}$ trên đoạn $[1; 3]$.

Ta có đạo hàm $f'(t) = \dfrac{2t(t + 1) - (t^2 - 2)}{(t + 1)^2} = \dfrac{t^2 + 2t + 2}{(t + 1)^2}$.

Vì $t^2 + 2t + 2 = (t + 1)^2 + 1 > 0$ với mọi $t$ nên $f'(t) > 0, \forall t \in [1; 3]$.

Hàm số $f(t)$ đồng biến trên đoạn $[1; 3]$.

Để phương trình ban đầu có nghiệm $x \in \left[ 0; 1 + 2\sqrt{2} \right]$ thì phương trình $m = f(t)$ phải có nghiệm $t \in [1; 3]$.

Điều kiện là $f(1) \le m \le f(3)$.

Ta tính được:

$f(1) = \dfrac{1^2 - 2}{1 + 1} = -\dfrac{1}{2}$

$f(3) = \dfrac{3^2 - 2}{3 + 1} = \dfrac{7}{4}$

Do đó $-\dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{7}{4}$, hay $m \in \left[ -\dfrac{1}{2}; \dfrac{7}{4} \right]$.

Theo giả thiết, tập hợp các giá trị của $m$ là đoạn $[a; b]$ nên ta có $a = -\dfrac{1}{2}$ và $b = \dfrac{7}{4}$.

Giá trị của biểu thức $T = 2b - a = 2\left( \dfrac{7}{4} \right) - \left( -\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{7}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.

Đáp án: 4

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.