Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int_{1}^{4}f}(x)dx = 1$. Chọn các khẳng định

Câu hỏi số 824569:

Thông hiểu

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int_{1}^{4}f}(x)dx = 1$. Chọn các khẳng định đúng.

A. ${\int_{4}^{1}\dfrac{1}{2}}f(x)dx = \dfrac{1}{2}$.

B. ${\int_{1}^{4}\left\lbrack {2f(x) - \dfrac{3}{x}} \right\rbrack}dx = 2 + 3\ln 2$

C. Biết ${\int_{4}^{1}\left\lbrack {f(x) - \dfrac{2}{x^{3}} + \sqrt[4]{x^{3}}} \right\rbrack}dx = \dfrac{a + b\sqrt{2}}{112}$, với $a,b \in {\mathbb{Z}}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân thức tối giản. Khi đó $a + b = - 455$.

D. Biết ${\int_{- 2}^{4}\left\lbrack {f(x) - e^{x}} \right\rbrack}dx = \dfrac{1}{e^{2}}$, khi đó ${\int_{- 2}^{1}f}(x)dx = e^{4} - 1$

Đáp án đúng là: C; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:824569

Phương pháp giải

Tính chất ${\int_{a}^{b}f}(x)dx = {\int_{a}^{c}f}(x)dx + {\int_{c}^{b}f}(x)dx$ và ${\int_{a}^{b}f}(x) + g(x)dx = {\int_{a}^{b}f}(x)dx + {\int_{a}^{b}{g(x)}}dx$

Giải chi tiết

a) Sai. ${\int_{4}^{1}\dfrac{1}{2}}f(x)dx = - \dfrac{1}{2}{\int_{1}^{4}f}(x)dx = - \dfrac{1}{2}$.

b) Sai. ${\int_{1}^{4}\left\lbrack {2f(x) - \dfrac{3}{x}} \right\rbrack}dx = 2{\int_{1}^{4}f}(x)dx - 3{\int_{1}^{4}\dfrac{1}{x}}dx = 2.1 + 3\ln|x|_{1}^{4} = 2 - 6\ln 2$

c) Đúng. ${\int_{4}^{1}\left\lbrack {f(x) - \dfrac{2}{x^{3}} + \sqrt[4]{x^{3}}} \right\rbrack}dx = {\int_{4}^{1}f}(x)dx - 2{\int_{4}^{1}\dfrac{1}{x^{3}}}dx + {\int_{4}^{1}\sqrt[4]{x^{3}}}dx$

$= - 1 + \left. \dfrac{1}{x^{2}} \right|_{4}^{1} + \left. {\dfrac{4}{7}x\sqrt[4]{x^{3}}} \right|_{4}^{1} = - 1 + 1 - \dfrac{1}{4^{2}} + \dfrac{4}{7}\left( {1 - 4\sqrt[4]{4^{3}}} \right) = \dfrac{57 - 512\sqrt{2}}{112}$

$\left. \Rightarrow a = 57;b = - 512\Rightarrow a + b = - 455 \right.$

d) Đúng.

$\begin{array}{l} {{\int_{- 2}^{4}\left\lbrack {f(x) - e^{x}} \right\rbrack}dx = \dfrac{1}{e^{2}}} \\ \left. \Leftrightarrow{\int_{- 2}^{4}f}(x)dx - {\int_{- 2}^{4}e^{x}}dx = \dfrac{1}{e^{2}} \right. \\ \left. \Leftrightarrow{\int_{- 2}^{1}f}(x)dx + {\int_{1}^{4}f}(x)dx - {\int_{- 2}^{4}e^{x}}dx = \dfrac{1}{e^{2}} \right. \\ \left. \Leftrightarrow{\int_{- 2}^{1}f}(x)dx + 1 - \left. e^{x} \right|_{- 2}^{4} = \dfrac{1}{e^{2}} \right. \\ \left. \Leftrightarrow{\int_{- 2}^{1}f}(x)dx + 1 - e^{4} + \dfrac{1}{e^{2}} = \dfrac{1}{e^{2}} \right. \\ \left. \Leftrightarrow{\int_{- 2}^{1}f}(x)dx = e^{4} - 1 \right. \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.