Trong không gian với hệ tọa dộ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,B\left( {0;1;0}

Câu hỏi số 827404:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa dộ Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,B\left( {0;1;0} \right)\),\(C\left( {0;0;1} \right),\,D\left( {0;0;0} \right)\). Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều bốn mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\left( {BCD} \right),\left( {CDA} \right),\left( {DBA} \right)\)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 8

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:827404

Phương pháp giải

+) Xác định các phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\,\,\left( {BCD} \right),\,\,\left( {CDA} \right),\,\,\left( {DBA} \right)\).

+) Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm cách đều bốn mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\,\,\left( {BCD} \right),\,\,\left( {CDA} \right),\,\,\left( {DBA} \right)\), tính khoảng cách từ I đến 4 mặt phẳng.

+) Giải các phương trình trên tìm \(x,\,\,y,\,\,z\).

Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\,\,x + y + z - 1 = 0\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right):\,\,x = 0\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {CDA} \right):\,\,y = 0\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {DBA} \right):\,\,z = 0\).

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm cách đều bốn mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\left( {BCD} \right),\left( {CDA} \right),\left( {DBA} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {x + y + z - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| x \right| = \left| y \right| = \left| z \right|\)

TH1: \(x = y = z\)\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {3x - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| x \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{3 + \sqrt 3 }}\\x = \dfrac{1}{{3 - \sqrt 3 }}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{{3 + \sqrt 3 }};\dfrac{1}{{3 + \sqrt 3 }};\dfrac{1}{{3 + \sqrt 3 }}} \right)\) hoặc \(I\left( {\dfrac{1}{{3 - \sqrt 3 }};\dfrac{1}{{3 - \sqrt 3 }};\dfrac{1}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)\)

TH2: \( - x = y = z\)\( \Rightarrow \dfrac{{\left| { - x - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| x \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}}\\x = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 + 1}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}};\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 - 1}};\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 - 1}}} \right)\) hoặc \(I\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 + 1}};\dfrac{1}{{\sqrt 3 + 1}};\dfrac{1}{{\sqrt 3 + 1}}} \right)\)

TH3: \(x = - y = z\)\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| x \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 - 1}}\\x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 + 1}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 - 1}};\dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}};\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 - 1}}} \right)\) hoặc \(I\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 + 1}};\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 + 1}};\dfrac{1}{{\sqrt 3 + 1}}} \right)\)

TH4: \(x = y = - z\)\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \left| x \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 - 1}}\\x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 + 1}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 - 1}};\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 - 1}};\dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}}} \right)\) hoặc \(I\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 + 1}};\dfrac{1}{{\sqrt 3 + 1}};\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 + 1}}} \right)\)

Vậy, có tất cả 8 điểm thỏa mãn.

Đáp án cần điền là: 8

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.