Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ

Câu hỏi số 827582:

Vận dụng

$\dfrac{{2022}}{7}$ $\dfrac{{1011}}{8}$ $\dfrac{{337}}{2}$ $\dfrac{{674}}{3}$ 4 7

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Đặt $T = 103f\left( {{a^2} + a + 1} \right) + 234f\left( {af\left( b \right) + bf\left( a \right)} \right),\,\,a,b \in \mathbb{R}$. Gọi $m$ là số cặp số $\left( {a;b} \right)$ mà tại đó biểu thức $T$ đạt giá trị lớn nhất, gọi giá trị lớn nhất của $T$ là $M$. Giá trị biểu thức $\dfrac{M}{m}$ bằng và m bằng

Đáp án đúng là: $\dfrac{{2022}}{7}$; 7

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:827582

Phương pháp giải

- Dựa vào đồ thị tìm giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$.

- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T$.

- Tìm dấu xảy ra khi $T$ đạt giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $6$ tại $x = 3$.

Suy ra $f(x) \le 6$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Áp dụng tính chất này vào biểu thức $T$, ta có:

$f(a^2 + a + 1) \le 6$

$f(af(b) + bf(a)) \le 6$

Do đó, $T \le 103 \cdot 6 + 234 \cdot 6 = (103 + 234) \cdot 6 = 337 \cdot 6 = 2022$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $T$ là $M = 2022$.

Biểu thức $T$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi dấu "=" ở các bất đẳng thức trên đồng thời xảy ra:

$\begin{cases} a^2 + a + 1 = 3 \quad (1) \\ af(b) + bf(a) = 3 \quad (2) \end{cases}$

Giải phương trình (1): $a^2 + a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1 \\ a = -2 \end{array} \right.$.

Trường hợp 1: Với $a = 1$.

Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = 1$, suy ra $f(1) = 0$.

Thay $a = 1$ và $f(1) = 0$ vào phương trình (2), ta được:

$1 \cdot f(b) + b \cdot 0 = 3 \Leftrightarrow f(b) = 3$.

Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y = 3$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại bên trái trục tung và cắt đồ thị tại 2 điểm khác.

Do đó, phương trình $f(b) = 3$ có $3$ nghiệm phân biệt. Suy ra có $3$ cặp số $(1; b)$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: Với $a = -2$.

Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = -2$, suy ra $f(-2) = 0$.

Thay $a = -2$ và $f(-2) = 0$ vào phương trình (2), ta được:

$-2 \cdot f(b) + b \cdot 0 = 3 \Leftrightarrow -2f(b) = 3 \Leftrightarrow f(b) = -1,5$.

Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y = -1,5$ là đường thẳng nằm ngang cắt trục tung tại điểm có tung độ $-1,5$ (nằm cao hơn điểm cực tiểu $y = -3$ và thấp hơn điểm cực đại $y = 3$).

Đường thẳng này cắt đồ thị hàm số tại $4$ điểm phân biệt.

Do đó, phương trình $f(b) = -1,5$ có $4$ nghiệm phân biệt. Suy ra có $4$ cặp số $(-2; b)$ thỏa mãn.

Từ hai trường hợp trên, tổng số cặp $(a; b)$ để $T$ đạt giá trị lớn nhất là $m = 3 + 4 = 7$.

Khi đó, giá trị biểu thức $\dfrac{M}{m} = \dfrac{2022}{7}$.

Đáp án: $\dfrac{2022}{7}$ và 7

Đáp án cần chọn là: $\dfrac{{2022}}{7}$; 7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.