Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có

Câu hỏi số 827598:

Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có đồ thị của đạo hàm $f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Biết rằng $e > n$. Khi đó kiểm tra các mệnh đề sau đúng hay sai

	Đúng	Sai
a) Hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị
b) Số điểm cực trị của hàm số $y = f'\left( {f\left( x \right) - 2x} \right)$ bằng 7

Đáp án đúng là: S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:827598

Phương pháp giải

Tìm đạo hàm của hàm số $y = f'\left( {f\left( x \right) - 2x} \right)$ và nghiệm phương trình $y' = 0$.

Giải chi tiết

Xét mệnh đề a):

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'(x)$, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Do đó, phương trình $f'(x) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt và đạo hàm đổi dấu khi qua 3 điểm này.

Suy ra hàm số $y = f(x)$ có 3 điểm cực trị.

Vậy mệnh đề a) sai.

Xét mệnh đề b):

Đặt $h(x) = f'(f(x) - 2x)$.

Đạo hàm $h'(x) = (f'(x) - 2) \cdot f''(f(x) - 2x)$.

Cho $h'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) - 2 = 0$ (1) hoặc $f''(f(x) - 2x) = 0$ (2).

Giải phương trình (1): $f'(x) = 2$.

Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$, đường thẳng $y = 2$ đi qua điểm $(0; 2)$ và cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1 < m < 0 < n < x_2$.

Do đó phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Giải phương trình (2):

Từ đồ thị $y = f'(x)$, hàm số $f'(x)$ đạt cực trị tại $x = m$ và $x = n$ nên $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = m$ hoặc $x = n$.

Do đó, (2) $\Leftrightarrow f(x) - 2x = m$ hoặc $f(x) - 2x = n$.

Xét hàm số $k(x) = f(x) - 2x$, ta có $k'(x) = f'(x) - 2$.

Phương trình $k'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 2 \Leftrightarrow x \in \{x_1; 0; x_2\}$.

Từ đồ thị $f'(x)$, khi $x \to \pm \infty$ thì $f'(x) \to -\infty$ nên hệ số $a < 0$.

Suy ra $\lim_{x \to \pm \infty} k(x) = -\infty$.

Lập bảng biến thiên của $k(x)$:

Trên các khoảng $(-\infty; x_1)$ và $(0; x_2)$, do $f'(x) > 2$ nên $k'(x) > 0$.

Trên các khoảng $(x_1; 0)$ và $(x_2; +\infty)$, do $f'(x) < 2$ nên $k'(x) < 0$.

Do đó, hàm số $k(x)$ đạt cực đại tại $x_1$ và $x_2$, đạt cực tiểu tại $x = 0$ với giá trị cực tiểu là $k(0) = f(0) - 2(0) = e$.

Theo giả thiết $e > n$, và từ đồ thị ta có $n > 0 > m$, suy ra $e > n > m$.

Vì $k(0) = e$ là giá trị cực tiểu của phần lõm ở giữa, nên các đường thẳng $y = n$ và $y = m$ (đều nằm dưới $y = e$) sẽ chỉ cắt đồ thị $y = k(x)$ tại 2 nhánh ngoài cùng tiến về $-\infty$.

Cụ thể, mỗi phương trình $k(x) = n$ và $k(x) = m$ đều có 2 nghiệm phân biệt và các nghiệm này hoàn toàn khác các nghiệm $x_1, 0, x_2$.

Vậy phương trình $h'(x) = 0$ có tất cả $3 + 2 + 2 = 7$ nghiệm phân biệt và đạo hàm $h'(x)$ đều đổi dấu khi qua 7 nghiệm này.

Suy ra hàm số $y = f'(f(x) - 2x)$ có 7 điểm cực trị.

Vậy mệnh đề b) đúng.

Đáp án:

a) Sai

b) Đúng

Đáp án cần chọn là: S; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.