Cho hai số thực \(a,\,\,b\) đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S =

Câu hỏi số 839429:

Vận dụng

Cho hai số thực \(a,\,\,b\) đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\) bằng? Kết quả viết dưới dạng phân số.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 9/4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:839429

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\), \(\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a\), \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) (giả sử các biểu thức có nghĩa).

- Sử dụng BĐT Cô-si: Với \(x,\,\,y\) không âm ta có \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\\S = \dfrac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \dfrac{1}{{4{{\log }_{ab}}b}}\\S = {\log _a}\left( {ab} \right) + \dfrac{1}{4}{\log _b}\left( {ab} \right)\\S = 1 + {\log _a}b + \dfrac{1}{4}\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)\\S = \dfrac{5}{4} + {\log _a}b + \dfrac{1}{{4{{\log }_a}b}}\end{array}\)

Với \(a > 1,\,\,b > 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \({\log _a}b + \dfrac{1}{{4{{\log }_a}b}} \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.\dfrac{1}{{4{{\log }_a}b}}} = 1\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\log _a}b = \dfrac{1}{{4{{\log }_a}b}} \Leftrightarrow {\log _a}b = \pm \dfrac{1}{2}\).

Khi đó \(S \ge \dfrac{5}{4} + 1 = \dfrac{9}{4}\).

Vậy \({S_{\min }} = \dfrac{9}{4}\).

Đáp án cần điền là: 9/4

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.